问题1：能否不用链式法则求解公式(1)的导数？ #

先明确咱们要推导的核心公式：
$$ \frac d {dx} \int_a^x f(u) , du = f(x). \tag 1 $$
其实这个结论是微积分基本定理第一部分的核心，完全可以绕开链式法则，纯靠导数定义和积分的基础性质推导：

1. 从导数的极限定义出发：
   $$ \frac{d}{dx} \int_a^x f(u)du = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left( \int_a^{x+h} f(u)du - \int_a^x f(u)du \right) $$
2. 利用积分的区间可加性，把式子简化为：
   $$ \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_x^{x+h} f(u)du $$
3. 调用积分中值定理：存在介于$x$和$x+h$之间的$c_h$，使得
   $$ \int_x^{x+h} f(u)du = f(c_h) \cdot h $$
4. 代入极限式后，当$h \to 0$时，$c_h$会趋近于$x$；如果$f$在$x$处连续，这个极限就等于$f(x)$。

全程没用到链式法则，纯靠最基础的微积分定义和性质就搞定了。

问题2：仅用公式(1)的思路推证公式(2) #

要证明的公式是：
$$ \frac d {dx} \int_0^x \left( \int_0^{x-u} f(u)g(v) , dv \right) , du = \int_0^x f(x-v) g(v) , dv. \tag 2 $$
咱们从你提到的变量替换入手，一步步拆解：

第一步：变换积分区域 #

原积分的区域是$0 \leq u \leq x$，$0 \leq v \leq x-u$，也就是第一象限里直线$u+v=x$下方的区域。用你给出的替换$\begin{bmatrix} s \ t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u+v \ v \end{bmatrix}$，可以解出$u = s - t$，$v = t$，对应的雅克比行列式值为1，积分区域转换为$0 \leq t \leq s \leq x$。

把原二重积分换序后，就变成：
$$ \int_0^x \int_t^x f(s - t)g(t) ds dt $$
我们把这个关于$x$的积分记为$F(x)$，接下来要对$F(x)$求导。

第二步：用公式(1)的思路求导 #

先把$F(x)$改写为：
$$ F(x) = \int_0^x g(t) \left( \int_t^x f(s - t) ds \right) dt $$
对内层积分做变量替换：令$w = s - t$，则内层积分变为$\int_0^{x-t} f(w) dw$，所以$F(x)$可以写成：
$$ F(x) = \int_0^x g(t) \cdot \int_0^{x-t} f(w) dw dt $$

现在用导数定义结合公式(1)的逻辑求$F'(x)$：

1. 写出$F(x+h)-F(x)$并拆分：
   $$ F(x+h)-F(x) = \int_0^x g(t)\left[ \int_0^{x+h-t}f(w)dw - \int_0^{x-t}f(w)dw \right]dt + \int_x^{x+h} g(t)\int_0^{x+h-t}f(w)dw dt $$
2. 分析第二部分：当$h \to 0$时，$x+h-t$的范围是$0$到$h$，积分值有界，乘以$h$后再除以$h$，极限为0。
3. 分析第一部分：用积分中值定理，内层的积分差等于$f(c_{h,t}) \cdot h$（$c_{h,t}$介于$x-t$和$x+h-t$之间），代入后化简：
   $$ \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_0^x g(t) \cdot f(c_{h,t}) \cdot h dt = \lim_{h \to 0} \int_0^x g(t) f(c_{h,t}) dt $$
4. 当$h \to 0$时，$c_{h,t}$趋近于$x-t$，若$f$连续，极限就是$\int_0^x g(t) f(x-t) dt$，把变量$t$换成$v$，就得到公式(2)的右边。

整个过程只用到了公式(1)依赖的导数定义、积分中值定理和积分区域变换，完全没用到链式法则。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Michael Hardy