让我一步步帮你拆解这两个概率问题：

问题1：从条件期望$E[S|X=k]$推导无条件期望$E[S]$ #

核心工具就是全期望公式（Law of Total Expectation），这是连接条件期望和无条件期望的核心桥梁。

如果$X$是离散型随机变量（比如题目里的泊松分布），推导过程很直观：

• 无条件期望可以看作是所有条件期望的加权平均，权重就是$X$取对应值的概率。
• 写成数学公式就是：
  $$E[S] = \sum_{k} E[S|X=k] \cdot P(X=k)$$
• 简单说，你把每个$X=k$情况下的条件期望$E[S|X=k]$，乘以$X$等于$k$的概率$P(X=k)$，然后把所有情况加起来，就得到了$S$的无条件期望。

举个小例子帮你理解：假设$X$是掷骰子的点数（1到6），$S$是$X$的平方，那$E[S|X=k]=k^2$，$P(X=k)=1/6$，所以$E[S] = (1²⁺²2+...+6^2)/6$，完全符合上面的公式。

问题2：计算至少收到一个请求的Web服务器的期望数量 #

这里用指示变量法最省心，比直接去算服务器数量的分布要简单太多，当然也可以用提示里的条件期望思路，结果是一致的。

方法一：指示变量法 #

咱们先给每台服务器定义一个指示变量：
对于第$i$台服务器（$i=1,2,...,N$），令
$$I_i = \begin{cases}
1, & \text{这台服务器至少收到1个请求} \
0, & \text{这台服务器没收到任何请求}
\end{cases}$$

我们要求的“至少收到一个请求的服务器数量”就是$\sum_{i=1}^N I_i$，根据期望的线性性（不管变量之间是否独立，这个性质都成立），它的期望等于每个$I_i$的期望之和：
$$E\left[\sum_{i=1}^N I_i\right] = \sum_{i=1}^N E[I_i]$$

接下来只需要算单个$E[I_i]$：

• $E[I_i]$其实就是$P(I_i=1)$（因为指示变量的期望等于它取1的概率），也就是“第i台服务器至少收到一个请求”的概率，等于1减去“它没收到任何请求”的概率。
• 当每分钟有$k$个请求时（也就是$X=k$），每个请求都不分配到第i台服务器的概率是$(1-1/N)^k$，所以条件概率$P(I_i=1|X=k) = 1 - (1-1/N)^k$。
• 再用全期望公式把这个条件概率转化为无条件概率：
  $$E[I_i] = E\left[P(I_i=1|X)\right] = \sum_{k=0}^\infty \left[1 - (1-1/N)^k\right] \cdot P(X=k)$$

把这个求和拆成两部分：
$$\sum_{k=0}^\infty P(X=k) - \sum_{k=0}^\infty (1-1/N)^k P(X=k)$$

• 第一部分是所有$X$取值的概率和，等于1；
• 第二部分是泊松分布的矩生成函数在$t=\ln(1-1/N)$处的值。泊松分布$Poi(\lambda)$的矩生成函数是$M(t)=e^{\lambda(et -1)}$，代入$\lambda=10$，$e^t=1-1/N$，得到：
  $$\sum_{k=0}^\infty (1-1/N)^k P(X=k) = e^{10\left[(1-1/N)-1\right]} = e^{-10/N}$$

所以单个$E[I_i] = 1 - e^{-10/N}$，那么N台服务器的期望数量就是：
$$N\left(1 - e^{-10/N}\right)$$

方法二：用提示的条件期望思路 #

先算当$X=k$时，至少收到一个请求的服务器数量的条件期望：

• 当有$k$个请求时，每台服务器至少收到一个请求的概率是$1-(1-1/N)^{k$，所以$N$台服务器的条件期望是$N\left[1-(1-1/N)}k\right]$。
• 再用全期望公式求无条件期望：
  $$E[S] = \sum_{k=0}^\infty N\left[1-(1-1/N)^k\right] P(X=k)$$
  展开后和方法一的计算过程完全一样，最终结果也是$N\left(1 - e^{-10/N}\right)$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者N.T