当然有通用解法啦！这个递推属于非齐次线性递推关系，核心要分两种情况处理——$k=1$和$k≠1$，这两种情况的解法差异不小，我给你一步步拆解清楚：

当 $k=1$ 时：累加型递推 #

此时递推式简化为：
$$a_{n+1} = a_n + n^{-c}$$
这本质就是个“逐项累加”的关系，直接展开就能得到通解：
$$a_n = a_1 + \sum_{m=1}^{n-1} m^{-c}$$
这里的$a_1$是初始条件（如果你的初始条件是$a_0$，只需要把求和上下限改成从$m=0$到$n-1$就行）。额外提一句：当$c>1$时，这个求和会收敛到黎曼ζ函数$\zeta(c)$；如果$0<c≤1$，求和是发散的，但这不影响表达式的正确性，只是需要根据$c$的范围理解它的渐近行为。

当 $k≠1$ 时：常数变易法求解 #

这种情况我们用线性递推的经典思路：通解 = 齐次解 + 非齐次特解。

第一步：求齐次解 #

先看去掉非齐次项的齐次递推：
$$a_{n+1}^{(h)} = k a_n^{(h)}$$
它的通解非常直接：
$$a_n^{(h)} = C \cdot k^{n-1}$$
这里的$C$是由初始条件确定的任意常数。

第二步：用常数变易法构造特解 #

我们假设特解的形式是$a_n^{(p)} = k^{n-1} \cdot b_n$（把齐次解里的常数$C$换成关于$n$的函数$b_n$），代入原递推式：
$$k^{n} \cdot b_{n+1} = k \cdot k^{n-1} \cdot b_n + n^{-c}$$
两边约掉$k^n$后，就能得到$b_n$的递推关系：
$$b_{n+1} - b_n = \frac{n^{-c}}{kn}$$
这又变成了累加型的递推，展开后得到：
$$b_n = b_1 + \sum_{m=1}^{n-1} \frac{m^{-c}}{km}$$
为了简化，我们可以取$b_1=0$（因为齐次解已经包含了任意常数，特解只需要一个就行），这样特解就变成：
$$a_n^{(p)} = k^{n-1} \cdot \sum_{m=1}^{n-1} \frac{m^{-c}}{km}$$

第三步：合并得到通解 #

把齐次解和特解加起来，就得到原递推的通解：
$$a_n = C \cdot k^{n-1} + k^{n-1} \cdot \sum_{m=1}^{n-1} \frac{m^{-c}}{km}$$
你也可以把$k^{n-1}$提出来，写成更简洁的形式：
$$a_n = k^{n-1} \left( C + \sum_{m=1}^{n-1} \frac{m^{-c}}{km} \right)$$
最后代入初始条件就能确定$C$：比如当$n=1$时，求和项是空的（等于0），所以$a_1 = C \cdot k^0 \implies C = a_1$，代入后就得到带初始条件的完整通解。

额外补充 #

• 特解里的求和$\sum_{m=1}^{\infty} \frac{m^{-c}}{km}$其实是Lerch zeta函数的一种形式（当$|k|>1$时，这个无穷级数收敛），不过如果不需要解析形式，保留求和形式就足够实用了。
• 如果你尝试过待定系数法没成功，很正常——因为当$k≠1$时，非齐次项$n^{-c}$不是多项式，待定系数法只适用于非齐次项是多项式、指数函数或它们的组合的情况，这时候常数变易法才是通用的解法。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Marcus Emilsson