好的，我们来一步步解决这个4塔汉诺塔的不等式证明问题。首先，你提到的递推关系确实是关键——先从理解这个递推的来源开始，再用数学归纳法完成证明：

第一步：明确4塔汉诺塔的核心递推关系 #

你提到的递推式 $Wₙ ≤2·W_{n−k}+2ᵏ−1$（$0≤k≤n$）是完全正确的，它来自Frame-Stewart算法的核心思路：

• 先把顶部的n−k个圆盘用4塔规则移到一座辅助塔，最少需要$W_{n−k}$次移动；
• 再把剩下的k个圆盘用3塔汉诺塔的规则移到目标塔（因为这k个圆盘是最大的一组，辅助塔中不会有更小的圆盘干扰，等价于3塔问题），最少需要$2ᵏ−1$次移动；
• 最后把之前移走的n−k个圆盘再移到目标塔，又需要$W_{n−k}$次移动。
  三者相加就得到了这个递推不等式。

第二步：用数学归纳法证明目标不等式 #

我们用数学归纳法来证明对所有$n≥0$，$W_{n(n+1)/2} ≤2ⁿ·(n-1)+1$成立：

基础情况验证 #

• 当$n=0$时：$n(n+1)/2=0$，$W₀=0$（0个圆盘无需移动），右边$2⁰·(0-1)+1=0$，$0≤0$，成立。
• 当$n=1$时：$n(n+1)/2=1$，$W₁=1$（1个圆盘直接移动），右边$2¹·(1-1)+1=1$，$1≤1$，成立。
• 当$n=2$时：$n(n+1)/2=3$，根据4塔规则，$W₃=5$（用递推式取$k=2$：$W₃≤2·W₁+2²−1=2*1+3=5$），右边$2²·(2-1)+1=5$，$5≤5$，成立。
• 当$n=3$时：$n(n+1)/2=6$，用递推式取$k=3$：$W₆≤2·W₃+2³−1=2*5+7=17$，右边$2³·(3-1)+1=17$，$17≤17$，成立。

归纳假设 #

假设对于任意$m≥0$，不等式$W_{m(m+1)/2} ≤2ᵐ·(m-1)+1$成立。

归纳步骤 #

我们需要证明当$n=m+1$时，$W_{(m+1)(m+2)/2} ≤2^{m+1}·m +1$成立。

首先注意到：
$$(m+1)(m+2)/2 = m(m+1)/2 + (m+1)$$
记$S_m = m(m+1)/2$，那么$S_{m+1}=S_m + (m+1)$。

对$W_{S_{m+1}}$应用递推式，取$k=m+1$（刚好是新增的圆盘数量）：

W_{S_{m+1}} ≤ 2·W_{S_m} + 2^{m+1} − 1

将归纳假设的$W_{S_m} ≤2ᵐ·(m-1)+1$代入上式：

W_{S_{m+1}} ≤ 2·[2ᵐ·(m-1)+1] + 2^{m+1} − 1

展开并化简右边：

= 2^{m+1}·(m-1) + 2 + 2^{m+1} − 1
= 2^{m+1}·[(m-1)+1] + (2-1)
= 2^{m+1}·m + 1

这正好是我们需要证明的右边结果，因此归纳步骤成立。

结论 #

通过数学归纳法，结合4塔汉诺塔的核心递推不等式，我们证明了对所有$n≥0$，$W_{n(n+1)/2} ≤2ⁿ·(n-1)+1$成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Zach