这确实是个很容易搞混的点——不同学术资料对术语的使用有时候就是会有这种“各说各话”的情况，尤其是在张量这种横跨数学、物理多个领域的概念上。咱一步步拆解清楚：

• 首先得明确：伪张量（pseudotensor） 和 张量密度（tensor density） 在严格定义里是有区别的，但部分资料（比如Mathworld）会沿用早期物理领域的习惯，把特定类型的伪张量直接称作张量密度，这才导致了和维基百科严谨定义的冲突。
• 维基百科的区分是现代微分几何、相对论等领域的主流严谨表述；而Mathworld的说法更像是保留了老派术语的使用习惯——比如有些早期物理学家会把带权重且定向敏感的伪张量直接叫张量密度，属于术语的“历史遗留问题”。

说白了，伪张量是在坐标变换（尤其是正交变换里的反射/镜像翻转这类定向反转变换）下，变换规则比普通张量多一个符号因子的量。

普通张量在坐标变换时，只遵循标准的张量变换律；而伪张量遇到雅可比行列式为-1的变换（也就是把坐标系定向反转，比如从右手系变左手系）时，会多乘一个det(J)的因子——简单说就是符号会翻转。举个最常见的例子：

• 物理里的角动量就是伪矢量（伪一阶张量）：当你把空间镜像翻转，位置矢量、速度矢量这些普通矢量的方向会跟着镜像走，但角动量的方向会反过来，这就是伪张量的典型特征。
• 更高阶的例子比如相对论里的能量动量伪张量，在定向反转变换下也会出现符号变化。

可以从两个核心角度来判断：

• 变换规则检验：写出它在坐标变换下的变换公式，如果在定向反转变换（det(J) = -1）时，变换结果比普通张量多乘了一个det(J)（也就是符号变反），那它就是伪张量。

  普通张量的变换律：$T'^{i_1...i_n}{j_1...j_m} = J^{{i_1}_{k_1}...J}{i_n}{k_n} (J^{-1}){l_1}{j_1}...(J^{-1}){l_m}{j_m} T^{k_1...k_n}{l_1...l_m}$
  伪张量的变换律：$T'^{i_1...i_n}{j_1...j_m} = \det(J) \cdot J^{{i_1}_{k_1}...J}{i_n}{k_n} (J^{-1}){l_1}{j_1}...(J^{-1}){l_m}{j_m} T^{k_1...k_n}{l_1...l_m}$

• 物理/几何意义判断：如果一个量的定义依赖于空间的定向（比如右手坐标系vs左手坐标系），那它大概率是伪张量。比如角动量的定义用到了叉乘，而叉乘的结果完全依赖于坐标系的定向，所以角动量是伪矢量。

你觉得“维基百科中除将伪张量作为张量密度同义词之外的定义无法被严谨表述”其实不太准确——维基百科的区分是更严谨的现代语境下的定义：

• 张量密度是带有权重的张量，变换时会乘以$\det(J)^w$（w是权重，比如w=1就是一阶张量密度），它的变换和定向反转无关，只和坐标变换的缩放有关；
• 伪张量则是定向敏感的张量，只在定向反转时多出符号因子，本质是和“定向”这个几何结构绑定的量。

Mathworld的表述更偏向于早期部分领域的习惯用法，属于术语混用，但现在主流的严谨学术场景里，二者是明确区分开的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者The Vee