先直接解决你的第一个疑问：题目里“在区间[0,1]内独立随机选取两个数”的表述，默认这两个变量服从[0,1]上的均匀分布。原因很简单：“随机选取”在概率论的习题语境中，通常指的是「等概率选取」——也就是区间内任意长度相等的子区间，被选中的概率相同，这正是均匀分布的核心定义。如果是其他分布，题目一定会明确说明，所以这里可以放心认定 $X \sim U(0,1)$，$Y \sim U(0,1)$，且二者相互独立。

接下来分两种思路求解 $Z=X+Y$ 的分布函数和密度函数，先从直观的几何概率入手，再解释你困惑的卷积概念：

一、用几何概率求分布函数 $F_Z(z)$ #

分布函数的定义是 $F_Z(z) = P(Z \leq z) = P(X+Y \leq z)$。我们可以把 $(X,Y)$ 看作单位正方形 $[0,1] \times [0,1]$ 内的随机点，$P(X+Y \leq z)$ 就是正方形内满足 $x+y \leq z$ 的区域面积，分四种情况讨论：

• 当 $z < 0$：$X$ 和 $Y$ 都是非负数，不可能满足 $x+y < 0$，所以 $F_Z(z) = 0$；
• 当 $0 \leq z \leq 1$：满足条件的区域是一个直角边长度为 $z$ 的等腰直角三角形，面积为 $\frac{1}{2}z^2$，因此 $F_Z(z) = \frac{1}{2}z^2$；
• 当 $1 < z \leq 2$：满足条件的区域是整个正方形减去右上角一个直角边长度为 $2-z$ 的等腰直角三角形，面积为 $1 - \frac{1}{2}(2-z)^2$，因此 $F_Z(z) = 1 - \frac{1}{2}(2-z)^2$；
• 当 $z > 2$：$X$ 和 $Y$ 最大都是1，$x+y$ 必然小于等于2，所以 $F_Z(z) = 1$。

二、求密度函数 $f_Z(z)$ #

密度函数是分布函数的导数，对上面的 $F_Z(z)$ 分段求导即可：

• 当 $z < 0$ 或 $z > 2$：$f_Z(z) = 0$；
• 当 $0 \leq z \leq 1$：$f_Z(z) = \frac{d}{dz}\left(\frac{1}{2}z^2\right) = z$；
• 当 $1 < z \leq 2$：$f_Z(z) = \frac{d}{dz}\left(1 - \frac{1}{2}(2-z)^2\right) = 2 - z$。

三、用卷积公式求解密度函数（解决你的卷积困惑） #

对于两个独立随机变量 $X$ 和 $Y$，它们的和 $Z=X+Y$ 的密度函数等于二者密度函数的卷积，公式为：
$$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x)f_Y(z-x) dx$$

首先写出 $X$ 和 $Y$ 的密度函数：

• $f_X(x) = \begin{cases} 1, & 0 \leq x \leq 1 \ 0, & \text{其他} \end{cases}$
• $f_Y(y) = \begin{cases} 1, & 0 \leq y \leq 1 \ 0, & \text{其他} \end{cases}$

要让积分里的被积函数不为0，需要同时满足：

1. $0 \leq x \leq 1$（保证 $f_X(x)=1$）
2. $0 \leq z-x \leq 1$（保证 $f_Y(z-x)=1$）

把第二个不等式变形为 $z-1 \leq x \leq z$，再结合第一个条件，得到 $x$ 的有效积分区间是 $[\max(0, z-1), \min(1, z)]$，接下来分情况计算：

• 当 $0 \leq z \leq 1$：$\max(0, z-1)=0$，$\min(1, z)=z$，积分变为 $\int_{0}^{z} 1 \times 1 dx = z$；
• 当 $1 < z \leq 2$：$\max(0, z-1)=z-1$，$\min(1, z)=1$，积分变为 $\int_{z-1}^{1} 1 \times 1 dx = 1 - (z-1) = 2 - z$；
• 其他情况：积分区间为空，结果为0。

可以看到，卷积的计算结果和之前用几何概率求导得到的密度函数完全一致，这也验证了两种方法的正确性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Hendrik Matamoros