没问题，我一步步给你拆解这个复指数函数的等值线和映射问题，和你课堂上学的$f(z)=z^2$思路是通的，咱们慢慢捋：

你已经从$e^z = e^{x+iy} = e^x e^{{iy}$入手了，接下来用欧拉公式$e}{iy} = \cos y + i\sin y$展开，就能直接拆出实部和虚部：

• $u(x,y) = e^x \cos y$
• $v(x,y) = e^x \sin y$
  这一步和你学的$f(z)=z^2$拆成$u=x2-y^2$、$v=2xy$是同一个逻辑——把复函数拆解成实变量x、y的实值函数组合。

等值线是xy平面上满足实部/虚部为固定值的曲线，咱们分情况讨论：

情况1：$u=u_0$的等值线 #

把$u(x,y)=u_0$代入得：$e^x \cos y = u_0$

• 当$u_0=0$时：$\cos y = 0$，解得$y = \frac{\pi}{2} + k\pi$（$k\in\mathbb{Z}$），这是一系列平行于x轴的直线
• 当$u_0\neq0$时：可以整理为$e^x = \frac{u_0}{\cos y}$，两边取自然对数得$x = \ln|u_0| - \ln|\cos y|$，这是xy平面上的一组曲线（你可以理解为随着y变化，x跟着调整，保证$e^x\cos y$恒等于$u_0$）

情况2：$v=v_0$的等值线 #

同理，代入$v(x,y)=v_0$得：$e^x \sin y = v_0$

• 当$v_0=0$时：$\sin y = 0$，解得$y = k\pi$（$k\in\mathbb{Z}$），也是一系列平行于x轴的直线
• 当$v_0\neq0$时：整理为$x = \ln|v_0| - \ln|\sin y|$，同样是xy平面上的一组曲线

小补充：如果把$u=u_0$和$v=v_0$的方程平方相加，会得到$u_0^2 + v_0^2 = e^{2x}$，这说明对于固定的x，对应的(u,v)在u-v平面上是圆，但这里的等值线是xy平面上的曲线，别搞混啦。

这部分是把xy平面上的直线（固定x或固定y）映射到u-v平面的曲线，核心是代入固定值后消去参数（y或x）：

情况1：$x=x_0$的映射线 #

把$x=x_0$代入u和v的表达式：

• $u = e^{x_0} \cos y$
• $v = e^{x_0} \sin y$
  把两式平方后相加：$u^2 + v^2 = (e^{x_0})2 (\cos^2 y + \sin^2 y) = e^{2x_0}$
  这是u-v平面上圆心在原点，半径为$e^{x_0}$的完整圆——因为y可以取全体实数，$\cos y$和$\sin y$会遍历[-1,1]，所以整个圆上的点都能被映射到。

情况2：$y=y_0$的映射线 #

把$y=y_0$代入u和v的表达式：

• $u = e^x \cos y_0$
• $v = e^x \sin y_0$
  这里分两种子情况：
• 若$\cos y_0 \neq 0$：把两式相除得$\frac{v}{u} = \tan y_0$，也就是$v = u \tan y_0$，这是u-v平面上过原点的直线。又因为$e^x > 0$，当$\cos y_0 > 0$时u>0，是直线在右半平面的射线；当$\cos y_0 < 0$时u<0，是左半平面的射线。
• 若$\cos y_0 = 0$（即$y_0 = \frac{\pi}{2} + k\pi$）：此时$\sin y_0 = \pm1$，u=0，$v = \pm e^{x$。因为$e}x > 0$，所以当$y_0 = \frac{\pi}{2}$时v>0，对应u-v平面的正虚轴；当$y_0 = \frac{3\pi}{2}$时v<0，对应负虚轴。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Lautern