嘿，这个问题问到点子上了，不管是做微积分计算还是后续的物理、工程应用，这个积分转换和分部积分的点都挺常用的。我来给你拆解清楚：

当y是x的函数时，计算∫xdy的方法 #

既然y是x的函数，我们可以先把这个积分转换成更熟悉的关于x的积分来处理，步骤很清晰：

• 先写出y对x的微分：假设y = f(x)，那根据微分定义，dy = f’(x)dx（也就是dy = y’ dx，简写更方便）
• 把dy代入原积分，就得到了关于x的积分：∫x dy = ∫x · y’ dx
• 接下来就可以用常规的积分技巧（比如分部积分、换元法、幂函数积分公式等）来计算这个积分了。举个具体例子：如果y = x³，那dy = 3x²dx，代入后就是∫x·3x²dx = ∫3x³dx = (3/4)x⁴ + C，要是需要用y表示结果的话，再把x换成∛y就行，也就是(3/4)y^(4/3) + C

等式∫xdy = xy - ∫ydx是否成立？ #

答案是完全成立！这其实就是分部积分法的微分形式写法，证明过程非常直观，用基本的微分法则就能推出来：

1. 先回忆乘积的微分公式：两个函数乘积的微分等于第一个函数乘第二个函数的微分，加上第二个函数乘第一个函数的微分，也就是 d(xy) = x dy + y dx
2. 把这个式子变形，把我们需要的x dy单独移到等式左边：x dy = d(xy) - y dx
3. 对等式两边同时取不定积分：左边是∫x dy，右边是∫d(xy) - ∫y dx
4. 因为积分是微分的逆运算，所以∫d(xy)的结果就是xy + C（C是积分常数），而两个积分的常数项可以合并到一起，所以最终就得到了∫x dy = xy - ∫y dx

如果是定积分的话，这个等式同样适用，形式会变成：
∫ₐᵇx dy = [xy]ₐᵇ - ∫ₐᵇy dx
这里的[xy]ₐᵇ表示把积分上限b和下限a代入xy后做差，也就是x(b)y(b) - x(a)y(a)

另外补充一句：这个分部积分等式的适用性不止局限于y是x的函数，哪怕是参数方程形式或者其他变量关系，只要微分运算成立，这个式子都能用，是个非常通用的积分工具。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Noa Vidović