先明确条件含义 #

Hey there! 先帮你把条件掰明白：“两个特定元素既不能出现在首位也不能出现在末位”，指的是a₁和a₂这两个元素，每一个都绝对不能占排列的第一个位置，同时也绝对不能占最后一个位置。简单说就是：

• a₁既不能在开头，也不能在结尾；
• a₂同样既不能在开头，也不能在结尾；
• 他俩只能待在排列中间的n-2个位置里。

计算符合条件的排列数 #

给你两种推导方法，选你看得顺的来理解：

方法一：直接构造合法排列 #

我们分两步来搭这个排列：

1. 填首尾位置：因为首尾不能是a₁或a₂，所以只能从剩下的n-2个元素（a₃到aₙ）里挑2个来排首尾，这是排列问题，数量是 P(n-2, 2) = (n-2)(n-3)。
2. 填中间位置：首尾确定后，剩下的n-2个元素（包括a₁、a₂和没被选去首尾的元素）可以随便排在中间的n-2个位置，排列数是 (n-2)!。

把两步的结果相乘，就是总的合法排列数：

(n-2)(n-3) * (n-2)!

方法二：总排列数减去不合法排列数 #

先算所有元素的总排列数是 n!，再减去不符合要求的排列数：

• 不合法的情况有四类：a₁在首、a₁在尾、a₂在首、a₂在尾，每类的排列数都是 (n-1)!，加起来是 4*(n-1)!。
• 但这里有重复减去的情况：比如a₁在首且a₂在尾的排列，被减了两次；a₁在尾且a₂在首的排列也被减了两次。这两种情况的排列数各是 (n-2)!，得加回来补正。

所以不合法的总排列数是：

4*(n-1)! - 2*(n-2)!

用总排列数减去这个值，化简后和方法一的结果完全一致：

n! - 4*(n-1)! + 2*(n-2)! = (n-2)!*(n-2)(n-3)

内容的提问来源于stack exchange，提问作者looneysnoop