嘿，这个问题的结论其实很明确：不管A、B是不是可逆，AB和BA的特征多项式一定相同！你已经搞定了可逆的情况，那不可逆的情形咱们可以用两种直观的思路来破解：

方法一：分块矩阵的行列式技巧（纯代数推导） #

咱们可以通过构造分块矩阵，用行列式的性质直接推导，完全不依赖矩阵可逆性：

当λ≠0时，考虑这个2n阶分块矩阵：

[[λI, A],
 [B,  I]]

我们用两种方式对它做分块初等变换来计算行列式：

1. 把第二块行左乘 -A/λ 加到第一块行，得到：

   [[λI, 0],
    [B,  I - (B A)/λ]]
   

   这个矩阵的行列式是 λⁿ · det(I - BA/λ)，整理后就是 det(λI - BA)（因为 λⁿ det(I - BA/λ) = det(λ(I - BA/λ)) = det(λI - BA)）。

2. 换一种方式，把第一块列右乘 -B/λ 加到第二块列，得到：

   [[λI - (A B)/λ, A],
    [0,            I]]
   

   它的行列式是 det(λI - AB/λ) · 1，同样整理后就是 det(λI - AB)。

因为两种方法算的是同一个矩阵的行列式，所以当λ≠0时，det(λI - AB) = det(λI - BA)。

当λ=0时，det(-AB) = (-1)ⁿ det(AB)，det(-BA) = (-1)ⁿ det(BA)，而对任意同阶方阵，det(AB)=det(BA)是基本性质，所以这时候等式也成立。

这样就覆盖了所有λ的情况，特征多项式自然完全相同。

方法二：扰动法（利用连续性） #

如果A不可逆，咱们可以用“逼近”的思路绕开不可逆的限制：取一个很小的t，让 A + tI 变成可逆矩阵（因为A的特征值只有有限个，只要t不是-A的特征值，A+tI 就可逆，这样的t肯定存在）。

这时候你已经证明过，(A+tI)B 和 B(A+tI) 的特征多项式相同，也就是：

det(λI - (A+tI)B) = det(λI - B(A+tI))

现在让t趋近于0，等式两边的多项式都是关于t的连续函数，极限分别就是 det(λI - AB) 和 det(λI - BA)，所以它们必然相等。

额外补充 #

其实不仅特征多项式相同，AB和BA的非零特征值（包括重数）完全一致，零特征值的重数也因为特征多项式相同而保持一致——说白了，除了可能的Jordan块结构（若当标准形）略有差异，它们的谱性质几乎是一模一样的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Dhaka S