首先咱们先明确问题：

归纳定义多项式序列如下：$$2p_{n+1}(t)= t^{2+2p_n(t)-p_n(t)}2$$（其中$n \ge 0$，且$p_0(t)=0$）。需证明$p_n(t)$在$t \in [-1,1]$上一致收敛于$|t|$。考虑使用迪尼定理，为此需证明${p_n}$单调，进而推出$p_n(t)$被$|t|$有界，但无法证明其单调性，特此求助。

先利用对称性简化问题 #

首先注意到递推式里的项都是$t$的偶次幂，而且$p_0(t)=0$是偶函数，用归纳法很容易证明所有$p_n(t)$都是偶函数——也就是说$p_n(-t)=p_n(t)$。所以咱们只需要搞定$t\in[0,1]$的情况，$[-1,0]$的情况直接通过偶函数性质就能推导出来。

第一步：证明${p_n(t)}$在$[0,1]$上关于$n$单调递增 #

咱们用数学归纳法来证：

1. 基例验证：
   $n=0$时，$p_0(t)=0$；$p_1(t)=\frac{t^2 + 2p_0(t)-p_0(t)^{2}{2}=\frac{t}2}{2}$，显然在$[0,1]$上$p_1(t)\ge p_0(t)=0$，单调递增的基例成立。
2. 归纳假设：
   假设对某个$k\ge0$，在$[0,1]$上有$p_{k+1}(t)\ge p_k(t)$恒成立。
3. 归纳步骤：
   计算$p_{k+2}(t)-p_{k+1}(t)$，把递推式代入相减：
   $$2[p_{k+2}(t)-p_{k+1}(t)] = 2[p_{k+1}(t)-p_k(t)] - [p_{k+1}(t)^2 - p_k(t)^2]$$
   右边因式分解一下：
   $$= [p_{k+1}(t)-p_k(t)]\cdot[2 - p_{k+1}(t)-p_k(t)]$$
   现在看这两个因子：
   • 第一个因子：根据归纳假设，$p_{k+1}(t)-p_k(t)\ge0$，没问题；
   • 第二个因子：后面咱们会证明所有$p_n(t)\le |t|\le1$，所以$p_{k+1}(t)+p_k(t)\le 2\times1=2$，而且等号取不到（比如$t=1$时，$p_n(1)=1-\frac{1}{2^n}<1$），所以$2 - p_{k+1}(t)-p_k(t)>0$。
     两个因子都是非负的，所以$p_{k+2}(t)-p_{k+1}(t)\ge0$，归纳得证：${p_n(t)}$在$[0,1]$上关于$n$单调递增。

第二步：证明$p_n(t)\le |t|$在$[-1,1]$上恒成立 #

还是用数学归纳法：

1. 基例验证：
   $n=0$时，$p_0(t)=0\le |t|$，显然成立；$n=1$时，$p_1(t)=\frac{t^2}{2}$，在$[0,1]$上$t - \frac{t^{2}{2}=t\left(1-\frac{t}{2}\right)\ge0$，所以$\frac{t}2}{2}\le t=|t|$，成立。
2. 归纳假设：
   假设对某个$k\ge0$，$p_k(t)\le |t|$对所有$t\in[-1,1]$成立。
3. 归纳步骤：
   先看$t\in[0,1]$，要证$p_{k+1}(t)\le t$：
   计算$t - p_{k+1}(t)$：
   $$t - \frac{t^2 + 2p_k(t)-p_k(t)^2}{2} = \frac{2t - t^2 - 2p_k(t) + p_k(t)^2}{2}$$
   把分子因式分解（展开验证一下就知道是对的）：
   $$= \frac{(t - p_k(t))(2 - t - p_k(t))}{2}$$
   现在看两个因子：
   • $t-p_k(t)\ge0$（归纳假设）；
   • $2-t-p_k(t)\ge2-t-t=2(1-t)\ge0$（因为$t\in[0,1]$）。
     所以$t-p_{k+1}(t)\ge0$，即$p_{k+1}(t)\le t$。
     对于$t\in[-1,0]$，因为$p_n$是偶函数，$p_{k+1}(t)=p_{k+1}(-t)\le -t=|t|$，自然也成立。

第三步：应用迪尼定理完成一致收敛证明 #

现在咱们已经凑齐了迪尼定理的所有条件：

1. 紧集：$[-1,1]$是闭区间，属于紧度量空间；
2. 单调序列：对每个固定的$t\in[-1,1]$，${p_n(t)}$是单调递增的有界序列；
3. 连续函数：每个$p_n(t)$都是多项式，自然连续；
4. 点态收敛于连续函数：因为单调有界，所以对每个$t$，${p_n(t)}$点态收敛于某个$f(t)$。对递推式两边取极限：$2f(t)=t^2+2f(t)-f(t)2$，化简得$f(t)^2=t2$，又因为$f(t)\ge0$，所以$f(t)=|t|$，而$|t|$在$[-1,1]$上连续。

根据迪尼定理：紧度量空间上的单调连续函数序列，若点态收敛于连续函数，则该序列一致收敛。所以${p_n(t)}$在$[-1,1]$上一致收敛于$|t|$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Savannah