首先，我们先明确单词 HIPPOPOTAMUSES 的字母频次：

• H:1, I:1, P:3, O:2, T:1, A:1, M:1, U:1, S:2, E:1（总共14个字母）

你的思路核心：差集法则的合理性 #

你想用「总排列数 - 首尾字母相同的排列数」来计算首尾不同的排列数，这个思路完全正确，但我们需要拆解每个部分的计算，验证逻辑是否存在遗漏：

1. 总排列数的计算

你列出的多项式系数是准确的：
$$\binom{14}{1,1,3,2,1,1,1,1,1,2} = \frac{14!}{3! \cdot 2! \cdot 2!} = 3632428800$$

2. 首尾相同的排列数（分三种互斥情况）

我们逐一计算首尾为P、O、S的排列数：

• 首尾为P：剩余12个字母中，P的频次从3变为1，其他字母频次不变，排列数为：
  $$\binom{12}{1,1,1,2,1,1,1,1,1,2} = \frac{12!}{1! \cdot 2! \cdot 2!} = 119750400$$
• 首尾为O：剩余12个字母中，O的频次从2变为0，排列数为：
  $$\binom{12}{1,1,3,1,1,1,1,1,2} = \frac{12!}{3! \cdot 2!} = 39916800$$
• 首尾为S：和首尾为O的情况完全一致，排列数同样是39916800

由于首尾只能是同一种字母，这三种情况是互斥的（不可能同时出现首尾为P且为O的场景），因此首尾相同的总排列数就是三者之和：
$$119750400 + 39916800 + 39916800 = 199584000$$

关键误区：混淆了正确答案的对应场景 #

你提到的「正确答案199,584,000」其实是首尾字母相同的排列数，而非你要计算的「首尾不同」的排列数。按照你的差集法则，首尾不同的排列数应该是：
$$3632428800 - 199584000 = 3432844800$$

你的计算式本身没有漏减内容——错误在于你混淆了正确答案对应的问题场景，你拿到的正确答案是「首尾相同」的计算结果，而非目标的「首尾不同」结果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者jiqiudabao