1. 先把核心概念掰明白 #

咱们先把命题里的两个关键概念定义清楚，避免歧义：

• 最终递增序列：存在某个正整数 ( N )，当 ( n > N ) 时，对所有正整数 ( n ) 都满足 ( a_{n+1} \geq a_n )。说白了就是从某一项开始，序列要么保持不变，要么越来越大，不会再递减。
• 有下界的序列：存在一个实数 ( M )，让序列里的每一项 ( a_n ) 都满足 ( a_n \geq M )。这个 ( M ) 就是序列的一个下界（下界不唯一，比 ( M ) 小的数也是下界）。

2. 构造符合语境的序列实例 #

我来造两个典型的例子，帮你直观理解：

• 例子1：前半段递减、后半段严格递增的序列
  定义序列 ( a_n = \begin{cases} -n, & n \leq 5 \ a_5 + (n-5), & n > 5 \end{cases} )
  展开前几项看看：( a_1=-1, a_2=-2, a_3=-3, a_4=-4, a_5=-5, a_6=-4, a_7=-3, a_8=-2, \dots )
  很明显，当 ( n>5 ) 时，每一项都比前一项大1，是严格递增的；前5项则是递减的，完全符合“最终递增”的定义。
• 例子2：前半段波动递减、后半段保持不变的序列
  定义序列 ( b_n = \begin{cases} \frac{1}{n} - 10, & n \leq 100 \ -9.99, & n > 100 \end{cases} )
  前100项里，( b_n ) 从 ( -9 ) 逐渐减小到 ( \frac{1}{100}-10 = -9.99 )，从第101项开始就固定在 ( -9.99 ) 不变——不变属于非严格递增，所以这也是个最终递增序列。

3. 命题真假判断及理由 #

结论：这个命题是真命题，理由其实很直白：
对于任意一个最终递增序列 ( {a_n} )，根据定义，总能找到一个分界点 ( N )，从第 ( N+1 ) 项开始序列单调不减。
咱们把序列拆成两部分看：

• 前 ( N ) 项是有限个实数，有限个实数里肯定有个最小值，设这个最小值为 ( m )，也就是 ( m = \min{a_1,a_2,\dots,a_N} )。
• 对于 ( n > N ) 的项，因为从第 ( N+1 ) 项开始递增，所以 ( a_{N+1} \geq a_N )，( a_{N+2} \geq a_{N+1} \geq a_N )，以此类推，所有 ( n > N ) 的项都不会比 ( a_N ) 小。而 ( a_N ) 是前 ( N ) 项里的一个，所以 ( a_N \geq m )，那后面所有项自然也都 ( \geq m )。
• 这么一来，整个序列的所有项都 ( \geq m )，也就是说 ( m ) 就是这个序列的一个下界，所以这个序列必然是有下界的。

4. 判断思路与序列构造方法 #

判断思路 #

我一开始还琢磨过会不会有反例，比如能不能造一个最终递增但往负无穷跑的序列？后来想通了：最终递增的核心是只有前面有限项可以随便波动，后面的项只会越来越大（或不变）。有限个实数肯定有最小值，后面的项不会比这个最小值更小，所以整个序列不可能没有下界。

构造最终递增序列的具体方法 #

构造这类序列特别灵活，抓住“前乱后稳”的核心就行：

• 第一步：选一个分界点 ( N )（随便挑个正整数，5、100甚至1都可以）。
• 第二步：造前 ( N ) 项：可以递减、波动、甚至是从大到小跳着来，比如设前5项为 ( 10, 0, -5, -10, -15 )，怎么折腾都行——反正就是有限个项，不影响整体的下界。
• 第三步：造 ( n > N ) 的项：只要保证每一项都≥前一项就OK，比如严格递增（( a_n = a_{n-1} + 0.5 )）、保持不变（( a_n = a_N )）、甚至缓慢递增（( a_n = a_N + \frac{1}{n} )）都可以。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者The Statistician