首先我先把你的问题明确一下，避免理解偏差：

假设我们有一个n×n矩阵，它的大部分行都是单位矩阵的标准行向量（即第k行第k列是1，其余元素为0），只有任意两行（比如第i行和第j行）是自定义的任意向量，其他行保持单位行的形式。你推测这个矩阵的行列式和这两行中特定列构成的行列式相关，下面我用行列式的基本性质来严格证明这个结论的正确形式。

具体证明步骤 #

设这个矩阵为A，记：

• 对于所有行号$k \notin {i,j}$，A的第k行是单位向量$e_k$（即$A[k][k] = 1$，$A[k][l] = 0$，$l≠k$）
• 第i行的元素为：$A[i][1], A[i][2], ..., A[i][n]$，记为向量$\mathbf{r}_i$
• 第j行的元素为：$A[j][1], A[j][2], ..., A[j][n]$，记为向量$\mathbf{r}_j$

我们可以通过初等行变换来计算行列式（倍加行变换不改变行列式的值）：

1. 对于每个行号$k \notin {i,j}$，把第k行乘以$-A[i][k]$，加到第i行上。这样操作后，第i行的第k列元素会变成$A[i][k] - A[i][k] \times 1 = 0$。
2. 对第j行做同样的操作：把每个行号$k \notin {i,j}$的第k行乘以$-A[j][k]$，加到第j行上，这样第j行的第k列元素也会变成0。

经过这两步变换后，矩阵A会变成如下形式：

• 所有$k \notin {i,j}$的行仍然是单位向量$e_k$（因为我们只修改了第i和j行）
• 第i行只剩下第i列和第j列的元素：$A[i][i]$和$A[i][j]$，其余列都是0
• 第j行只剩下第i列和第j列的元素：$A[j][i]$和$A[j][j]$，其余列都是0

现在这个变换后的矩阵，我们可以按行展开来计算行列式：
对于每个$k \notin {i,j}$的行，按第k行展开，行列式等于1乘以去掉第k行第k列后的子矩阵的行列式（因为第k行只有第k列是1，其余是0）。反复做这个展开，直到最后剩下一个2阶矩阵，就是由第i行、第j行和第i列、第j列交叉构成的子矩阵：
$$
\begin{pmatrix}
A[i][i] & A[i][j] \
A[j][i] & A[j][j]
\end{pmatrix}
$$

这个2阶矩阵的行列式就是$A[i][i]A[j][j] - A[i][j]A[j][i]$，而因为我们做的初等行变换不改变行列式的值，所以原矩阵A的行列式就等于这个值。

验证小例子 #

比如n=3，取i=1，j=3，原矩阵是：

[ a b c ]
[ 0 1 0 ]
[ d e f ]

按上述方法计算，变换后第1行变成[a, 0, c]（用第2行乘以-b加到第1行），第3行变成[d, 0, f]（用第2行乘以-e加到第3行），然后按第2行展开，行列式等于1乘以$\begin{pmatrix}a & c \ d & f\end{pmatrix}$的行列式，也就是$af - cd$，和直接计算原矩阵行列式的结果完全一致。

如果你的推测表述有一点点偏差，希望上面的推导能帮你理清核心逻辑——本质上是利用单位行的特殊性，通过初等变换消去非目标列的元素，再利用行列式展开简化计算。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者bilanush