嘿，这个问题我刚学微分几何的时候也纠结过好一阵子！其实这根本不是概念矛盾，而是你看到的左右两边是不同空间上的积分表达，中间靠「拉回映射（Pullback）」把它们串起来了，我给你一步步拆解清楚：

本质上是流形上的微分形式积分，通过参数映射转化成了参数域上的普通二重积分，核心就是拉回映射的作用：

1. 先明确左边积分的本质 #

左边的$\int_{|\gamma(s)|} dx\wedge dy + y dx \wedge dz$是2-形式在二维参数化曲面（流形）上的积分，这里的$|\gamma(s)|$应该是笔误，实际是一个由参数映射$\phi: [a,b]\times[c,d] \to \mathbb{R}^3$定义的曲面——比如$\phi(s,t)=(x(s,t), y(s,t), z(s,t))$，这个曲面就是$\phi([a,b]\times[c,d])$。

微分形式积分的定义就是：把流形上的微分形式，通过参数映射「拉回」到参数域（也就是$\mathbb{R}^2$里的矩形$[a,b]\times[c,d]$），然后在参数域上计算积分。

2. 拉回映射如何处理外积？ #

我们来具体算一下拉回的过程，这是解开困惑的关键：

• 对于$dx\wedge dy$，拉回后的形式是$\phi^*(dx\wedge dy)$，根据拉回的性质，它等于$d(\phi^*x) \wedge d(\phi^*y)$，也就是$d(x(s,t)) \wedge d(y(s,t))$。
  展开后是：
  $$\left(\frac{\partial x}{\partial s}ds + \frac{\partial x}{\partial t}dt\right) \wedge \left(\frac{\partial y}{\partial s}ds + \frac{\partial y}{\partial t}dt\right)$$
  因为外积有反交换性（$ds\wedge ds=0$，$dt\wedge dt=0$，$ds\wedge dt=-dt\wedge ds$），所以化简后得到：
  $$\left(\frac{\partial x}{\partial s}\frac{\partial y}{\partial t} - \frac{\partial x}{\partial t}\frac{\partial y}{\partial s}\right) ds \wedge dt$$
  这里的系数就是$x,y$关于$s,t$的雅可比行列式，是普通的函数乘法运算。

• 同样，对于$y dx\wedge dz$，拉回后是：
  $$\phi^(y dx\wedge dz) = y(\phi(s,t)) \cdot \phi^(dx\wedge dz) = y(s,t) \cdot \left(\frac{\partial x}{\partial s}\frac{\partial z}{\partial t} - \frac{\partial x}{\partial t}\frac{\partial z}{\partial s}\right) ds \wedge dt$$

3. 参数域上的外形式积分转化为普通二重积分 #

在$\mathbb{R}^2$的标准定向（也就是$s$从$a$到$b$、$t$从$c$到$d$的顺序）下，参数域上的$ds\wedge dt$对应的就是普通二重积分的面积元素$dsdt$（如果定向相反，就是$-dsdt$，这也是外积体现定向的地方）。

把拉回后的两个2-形式加起来，整体就是$f(s,t) ds\wedge dt$，其中$f(s,t)$就是你右边积分里的被积函数。这时候，流形上的2-形式积分就转化为参数域上的普通二重积分：
$$\int_{\phi([a,b]\times[c,d])} \omega = \iint_{[a,b]\times[c,d]} \phi^*\omega = \iint_{[a,b]\times[c,d]} f(s,t) dsdt$$

最后总结：没有矛盾，只是层级不同 #

你觉得的「外积变成普通乘法」是一种误解：左边的外积是流形上的微分形式运算，右边的乘法是参数域上拉回后形式的系数运算，中间通过拉回映射完成了从“外形式空间”到“普通函数空间”的转化——本质是把我们不熟悉的流形积分，转化成了我们学过的欧氏空间普通积分，完全不存在概念冲突。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者1110101001