刚好我备考拓扑那会儿也反复啃过这个定理，给你拆解两种好理解的证明思路，都是从闭包的核心定义出发的，记起来也顺手～

方法一：利用闭包的“最小闭集”定义 #

首先回忆两个关键定义：

• 拓扑空间中，集合的闭包是包含该集合的所有闭集的交集（也是包含它的最小闭集）；
• 子空间$Y$的相对闭集：$Y$中的一个集合是相对闭集，当且仅当它可以表示为$Y$与$X$中某个闭集的交集。

步骤1：证明 $\text{Cl}_Y(A) \subseteq Y \cap \text{Cl}(A)$ #

• $\text{Cl}(A)$是$X$中的闭集，因此$Y \cap \text{Cl}(A)$是$Y$中的相对闭集（符合相对闭集的定义）；
• 因为$A \subseteq \text{Cl}(A)$且$A \subseteq Y$，所以$A \subseteq Y \cap \text{Cl}(A)$；
• 而$\text{Cl}_Y(A)$是$Y$中包含$A$的最小相对闭集，所以它必然包含于$Y \cap \text{Cl}(A)$。

步骤2：证明 $Y \cap \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}_Y(A)$ #

用反证法：假设存在$x \in Y \cap \text{Cl}(A)$但$x \notin \text{Cl}_Y(A)$，那么：

• 根据闭包的定义，$x$不属于$Y$中包含$A$的所有相对闭集的交集，意味着存在$Y$中的相对闭集$F$，使得$A \subseteq F$且$x \notin F$；
• 相对闭集$F = Y \cap C$，其中$C$是$X$中的闭集，所以$x \notin Y \cap C$，但$x \in Y$，因此$x \notin C$；
• 同时$A \subseteq F = Y \cap C$，所以$A \subseteq C$，而$\text{Cl}(A)$是包含$A$的最小闭集，因此$\text{Cl}(A) \subseteq C$；
• 但$x \in \text{Cl}(A)$，所以$x \in C$，这和$x \notin C$矛盾。
• 因此假设不成立，$x \in \text{Cl}_Y(A)$，即$Y \cap \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}_Y(A)$。

方法二：利用闭包的“极限点”定义 #

另一个常用的闭包定义是：集合的闭包等于集合本身加上它的所有极限点（$\text{Cl}(S) = S \cup S'$，其中$S'$是$S$的极限点集）。

步骤1：证明 $\text{Cl}_Y(A) \subseteq Y \cap \text{Cl}(A)$ #

• 若$x \in \text{Cl}_Y(A)$，要么$x \in A$，此时显然$x \in Y \cap \text{Cl}(A)$；
• 要么$x$是$A$在$Y$中的极限点：即$x$在$Y$中的每个相对邻域都与$A$相交。而$x$在$X$中的任何邻域$V$，$V \cap Y$是$x$在$Y$中的相对邻域，因此$(V \cap Y) \cap A = V \cap A \neq \emptyset$，这说明$x$是$A$在$X$中的极限点，即$x \in \text{Cl}(A)$，同时$x \in Y$，所以$x \in Y \cap \text{Cl}(A)$。

步骤2：证明 $Y \cap \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}_Y(A)$ #

• 任取$x \in Y \cap \text{Cl}(A)$，若$x \in A$，则直接属于$\text{Cl}_Y(A)$；
• 若$x \notin A$，则$x$是$A$在$X$中的极限点：即$x$在$X$中的每个邻域$V$都与$A$相交。$x$在$Y$中的任何相对邻域$U = Y \cap V$（$V$是$X$的开集），则$U \cap A = (Y \cap V) \cap A = V \cap A \neq \emptyset$，这说明$x$是$A$在$Y$中的极限点，因此$x \in \text{Cl}_Y(A)$。

两种方法本质都是紧扣相对拓扑的定义和闭包的核心性质，备考时把这两个思路理清楚，考试时不管用哪种都能快速推导出来～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Faust