首先可以明确：你的递推式完全正确！我们来核对前几项验证一下：

• 第0天：$a_0=10$，第1天：$a_1=14$
• 第2天（偶数天）：按规则计算是$\frac{a_1+a_0}{2}+1=\frac{14+10}{2}+1=13$，用你的递推式$\frac{a_1+a_0}{2}+(-1)^2=12+1=13$，结果完全一致
• 第3天（奇数天）：规则计算是$\frac{a_2+a_1}{2}-1=\frac{13+14}{2}-1=12.5$，递推式$\frac{a_2+a_1}{2}+(-1)^3=13.5-1=12.5$，匹配无误

接下来我一步步带你求解这个递推关系：

1. 整理递推式为标准线性非齐次形式 #

把你的递推式两边乘以2，消除分母：
$$2a_n = a_{n-1} + a_{n-2} + 2(-1)^n$$
移项后得到标准形式：
$$2a_n - a_{n-1} - a_{n-2} = 2(-1)^n$$

2. 求解齐次递推方程 #

先处理方程的齐次部分：$2a_n - a_{n-1} - a_{n-2}=0$，写出对应的特征方程：
$$2r^2 - r - 1 = 0$$
用求根公式解这个二次方程：
$$r = \frac{1\pm\sqrt{1+8}}{4} = \frac{1\pm3}{4}$$
得到两个特征根：$r_1=1$，$r_2=-\frac{1}{2}$。因此齐次解为：
$$a_n^{(h)} = A \cdot 1^n + B \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^n = A + B\left(-\frac{1}{2}\right)^n$$
其中$A$和$B$是待确定的常数。

3. 寻找非齐次方程的特解 #

非齐次项是$2(-1)^n$，由于$-1$不是特征根（特征根是1和$-1/2$），我们设特解形式为：
$$a_n^{(p)} = C(-1)^n$$
把它代入原非齐次递推式：
$$2C(-1)^n - C(-1)^{n-1} - C(-1)^{n-2} = 2(-1)^n$$
提取公因子$(-1)^{n-2}$化简左边：
$$2C(-1)^2 - C(-1)^1 - C = 2C + C - C = 2C$$
右边可变形为$2(-1)^n = 2(-1)^{n-2}(-1)2 = 2(-1)^{n-2}$，因此等式简化为：
$$2C = 2 \implies C=1$$
所以特解是：
$$a_n^{(p)} = (-1)^n$$

4. 合并通解并确定常数 #

通解是齐次解加特解：
$$a_n = A + B\left(-\frac{1}{2}\right)^n + (-1)^n$$
现在用初始条件$a_0=10$和$a_1=14$来求$A$和$B$：

• 当$n=0$时：$10 = A + B(1) + 1 \implies A + B = 9$
• 当$n=1$时：$14 = A + B\left(-\frac{1}{2}\right) + (-1) \implies A - \frac{B}{2} = 15$

解这个方程组：
从第一个方程得$A=9-B$，代入第二个方程：
$$9 - B - \frac{B}{2} = 15 \implies 9 - \frac{3B}{2} = 15 \implies -\frac{3B}{2}=6 \implies B=-4$$
再代入$A=9-B$得$A=13$。

最终通项公式 #

把$A$和$B$代入通解，得到：
$$a_n = 13 - 4\left(-\frac{1}{2}\right)^n + (-1)^n$$
你可以代入更多天数验证，比如第4天按规则计算是$\frac{a_3+a_2}{2}+1=13.75$，用公式计算$13 -4*(1/16)+1=13.75$，结果完全正确。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Nilay Baranwal