嘿，这个问题问到点子上了！我来一步步给你讲明白——你一开始想用三角代换的思路方向完全没问题，只是没把根号里的式子整理到标准形式，才选了不合适的代换~

先拆解根号里的式子 #

首先看积分里的分母：√(9 - 25x²)，三角代换的核心是利用1 - sin²θ = cos²θ去掉根号，所以我们得先把根号里的式子转化为能直接套用三角恒等式的结构：

√(9 - 25x²) = √[(3)² - (5x)²]

这时候根号里的结构就变成了标准的a² - u²型（这里$a=3$，$u=5x$），完美匹配三角代换的要求。

为什么是$x = \frac{3}{5}\sin\theta$？ #

对于√(a² - u²)的形式，我们的代换规则是让$u = a\sin\theta$，这样代入后：
√(a² - u²) = √(a² - a² sin²θ) = a√(1 - sin²θ) = a\cosθ，直接就能去掉根号了！

回到我们的问题，$u=5x$，$a=3$，所以：
$5x = 3\sin\theta$ → $x = \frac{3}{5}\sin\theta$

而你一开始想的$x=3\sin\theta$，代入分母会变成：
√(9 -25*(9 sin²θ)) = √(9(1 -25 sin²θ)) = 3√(1-25 sin²θ)
这个根号里的式子没法用1 - sin²θ简化，反而更复杂，自然不是正确的代换啦。

通用规则总结 #

遇到√(A - Bx²)（$A$、$B$都是正数）这种形式的根号时，通用步骤是：

• 把根号内的式子整理为√(a² - (bx)²)，其中$a=\sqrt{A}$，$b=\sqrt{B}$
• 令$bx = a\sinθ$，解出$x = \frac{a}{b}\sinθ$，这就是对应的三角代换
• 如果是√(A + Bx²)，就用$bx = a\tanθ$；如果是√(Bx² - A)，就用$bx = a\secθ$——核心思路都是把根号里的式子转化为能利用三角恒等式简化的结构

举个小例子验证：比如积分$\int\frac{x^2}{\sqrt{16 - 9x^2}}\mathrm dx$，这里$A=16$，$B=9$，$a=4$，$b=3$，所以代换就是$3x=4\sinθ$，即$x=\frac{4}{3}\sinθ$，代入后分母变成$4\cosθ$，就能顺利计算积分了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者sktsasus