先梳理下这个方程的已知解情况：

• 有个一眼就能看出来的平凡解$x=0$，代入两边都等于1，完全吻合。
• 当$0 < a < \frac{1}{e}$时（只考虑实数解，忽略复数解），还存在一个满足$0 < x < 1$的正解，比如：
  • $a=0.1$时，数值解为 x=0.8628711425761376
  • $a=0.3$时，数值解为 x=0.31852395682012924

核心问题：这个方程有没有解析解？ #

答案是：不存在初等解析解，但可以用特殊函数来表示它的解析形式。

先看你提到的变量替换：把$x$替换为$\frac{x}{\ln a}$（这里用自然对数$\ln$更符合数学常规），令$b = \ln a$，原方程可以转化为等价形式：
$$e^x = 1 - \frac{x}{b}$$
进一步整理为：
$$x = \ln\left(1 - \frac{x}{b}\right)$$

这类同时包含指数函数和多项式的方程属于超越方程，这类方程大多无法用初等函数（多项式、指数、对数、三角函数等常见函数）组合出解的表达式。不过我们可以借助Lambert W函数（一种专门定义来解决形如$z e^z = w$的特殊函数）来写出它的解析解，但Lambert W函数本身不属于初等函数范畴，是人为定义的特殊函数。

如果只追求可以用常规数学符号表示的解，那这个方程没有初等解析解，只能通过数值方法（比如你用的不动点迭代，或者牛顿迭代、二分法等）来获取高精度的数值解。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ian Heath