这个问题拆解成两步就非常清晰了，我来给你一步步捋明白：

第一步：为什么$A^T$行和为1时，必有特征值1？ #

先回到特征值与特征向量的核心定义：对于任意矩阵$M$，如果存在非零向量$\mathbf{v}$和标量$\lambda$，满足$M\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$，那么$\lambda$就是$M$的特征值，$\mathbf{v}$是对应的特征向量。

现在看$A^{T$——题目里说它的行向量和为1，意思就是$A}T$的每一行所有元素加起来等于1。我们取全1向量$\mathbf{1} = [1; 1; ...; 1]$（维度和$A^{T$一致），计算$A}T\mathbf{1}$的结果：

• 假设$A^T$第$i$行的元素是$a_{i1}, a_{i2}, ..., a_{in}$，根据行和为1，有$a_{i1} + a_{i2} + ... + a_{in} = 1$
• 那么$A^T\mathbf{1}$的第$i$个元素就是$a_{i1}*1 + a_{i2}*1 + ... + a_{in}*1 = 1$

所以$A^T\mathbf{1} = [1; 1; ...; 1] = 1*\mathbf{1}$，完全符合特征值的定义：这里$\lambda=1$，对应的特征向量就是全1向量$\mathbf{1}$。这就解释了为什么$A^T$一定有特征值1。

第二步：为什么原矩阵$A$也有特征值1？ #

这里要用到线性代数里的一个关键结论：一个矩阵和它的转置矩阵拥有完全相同的特征值。

原因很直观：特征值是特征多项式$\det(M - \lambda I)$的根，而行列式的转置等于原行列式，即$\det(M - \lambda I) = \det((M - \lambda I)^T) = \det(M^T - \lambda I)$。也就是说，$A$和$A^T$的特征多项式完全一样，它们的根（也就是特征值）自然也完全相同。

既然$A^T$有特征值1，那$A$肯定也有特征值1。

额外补充：马尔可夫矩阵与$A^T$行和的关联 #

最后把这个逻辑和马尔可夫矩阵本身挂钩：标准马尔可夫矩阵的定义是每一列元素非负，且列和为1（对应状态转移中，从某个状态转移到所有其他状态的概率总和为1）。而矩阵转置后，列会变成行，所以$A$的列和为1，就等价于$A^{T$的行和为1——这就是题目里提到“$A}T$的行向量和为1”的由来。

这样整个逻辑链就完全通顺了！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Juan