(a) 某指定盒子在游戏中至少被打开一次的概率 #

咱们可以用补集思路简化计算——先算这个指定盒子完全没被打开的概率，再用1减去这个值就是答案。

游戏本质是从100个盒子里随机选50个不同的盒子打开（已空盒子不会重复选），指定盒子没被选中的情况，就是从剩下的99个盒子里选50个。用组合数计算概率：

• 总选法数：C(100, 50) = 100!/(50! * 50!)
• 不包含指定盒子的选法数：C(99, 50) = 99!/(50! * 49!)

把两者相除化简：
C(99,50)/C(100,50) = (99! * 50! * 50!) / (100! * 50! * 49!) = 50/100 = 1/2

所以指定盒子没被打开的概率是1/2，那它至少被打开一次的概率就是：
1 - 1/2 = 1/2

其实还有个更直观的角度：因为是随机选50个盒子，每个盒子被选中的概率均等，所以指定盒子被选中的概率就是50/100 = 1/2，和上面的结果完全一致。

(b) 期望收益 #

这里推荐用线性期望来计算，这个工具超级好用，不管事件之间是否独立都能生效。

每个盒子里的1美元被我们拿到的概率就是(a)里算出的1/2，所以每个盒子对期望收益的贡献是1美元 * 1/2 = 0.5美元。100个盒子加起来，总期望收益就是：
100 * 0.5 = 50美元

换个思路想也很简单：我们一共进行50回合，每回合都会打开一个未被打开的盒子（已空盒子不会重复选），所以每回合肯定能拿到1美元，50回合下来期望就是50美元，和上面的结果完全匹配。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mathematics