先明确问题背景：
给定$t\in \mathbb{R}^{*}, t\neq 1$，对任意$k\in \mathbb{N}^{{*}$，令$S_k=t}k+\frac{1}{t^{k}$，数列$x_n=\sum_{k=1}}n \frac{1}{S_k}$，我们需要证明$(x_n)_{n\geq 1}$收敛。

原推导在$t>0$时的方向有误，这里重新梳理并完成证明：

情况1：$t>0$且$t\neq 1$ #

首先，由均值不等式可知$S_1 = t+\frac{1}{t} > 2$（等号仅在$t=1$时取到，而题目中$t\neq 1$）。

我们先推导$S_k$的递推关系：
$$
\begin{align*}
S_{k+1} &= t^{{k+1}+\frac{1}{t}{k+1}} \
&= \left(t+\frac{1}{t}\right)\left(t^k+\frac{1}{tk}\right) - \left(t^{{k-1}+\frac{1}{t}{k-1}}\right) \
&= S_1 S_k - S_{k-1}
\end{align*}
$$

利用这个递推式，我们可以归纳证明$S_k$是严格递增数列：

• 基例：$S_2 = S_1^2 - 2$，因为$S_1>2$，所以$S_2 = S_1^2 -2 > 4-2=2$，且$S_2 - S_1 = S_1^2 - S_1 -2 = (S_1-2)(S_1+1) >0$，即$S_2>S_1$。
• 归纳假设：若$S_k > S_{k-1}$，则$S_{k+1} = S_1 S_k - S_{k-1} > S_1 S_k - S_k = (S_1 -1)S_k$。由于$S_1>2$，故$S_1-1>1$，因此$S_{k+1} > S_k$。

由此可知$\frac{1}{S_k}$是严格递减的正数列，数列$x_n$作为正项级数的部分和，是单调递增的。接下来只需证明$x_n$有上界，即可说明其收敛。

由递推式的变形：$S_{k+1} > (S_1 -1)S_k$，令$r = S_1 -1 >1$，归纳可得：
$$S_k > S_1 \cdot r^{k-1}$$
因为$S_1>2$，所以$S_k > 2r^{k-1}$，进而：
$$\frac{1}{S_k} < \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{r}\right)^{k-1}$$

而$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{r}\right)^{{k-1}$是公比为$\frac{1}{r}<1$的等比级数，显然收敛。根据正项级数的比较判别法，$\sum_{k=1}}\infty \frac{1}{S_k}$收敛，因此部分和数列$x_n$收敛。

情况2：$t<0$且$t\neq 1$ #

令$t=-s$，其中$s>0$且$s\neq1$（因为$t\neq1$），则：

• 当$k$为奇数时，$S_k = (-s)^k + \frac{1}{(-s)^k} = -\left(s^k+\frac{1}{sk}\right)$，故$\left|\frac{1}{S_k}\right| = \frac{1}{s^k+\frac{1}{sk}}$；
• 当$k$为偶数时，$S_k = (-s)^k + \frac{1}{(-s)^k} = s^k+\frac{1}{sk}$，故$\left|\frac{1}{S_k}\right| = \frac{1}{s^k+\frac{1}{sk}}$。

此时级数$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{S_k}$是绝对收敛的，因为$\sum_{k=1}^\infty \left|\frac{1}{S_k}\right| = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{s^k+\frac{1}{sk}}$，这和情况1中$t>0$时的级数完全一致，已经证明其收敛。绝对收敛的级数必收敛，因此部分和数列$x_n$收敛。

原推导的问题说明 #

原推导中试图用詹森不等式得到$S_k>\frac{1}{2^{{k-1}}(t+\frac{1}{t})}k$，进而推出$\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{S_k}<\left[\frac{1}{2}(t+\frac{1}{t})\right]^k$，但由于$\frac{1}{2}(t+\frac{1}{t})>1$（$t>0$时$t+\frac{1}{t}>2$），右边的级数是发散的，无法用于证明原级数收敛。正确的思路应该是找到$S_k$的指数增长下界，从而得到$\frac{1}{S_k}$的指数衰减上界，通过比较收敛的等比级数来证明原级数收敛。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Problemsolving