咱们把这个扑克牌概率问题的推导补全并理清楚哈，先从基础的定义和公式入手：

首先，总样本空间|S|是从52张牌里抽取5张手牌的组合数（因为手牌的顺序不影响结果），也就是 C(52, 5)。

我们定义两个事件：

• 事件B：手牌恰好有2张黑桃
• 事件R：手牌恰好有2张红桃

我们要求的是这两个事件的并集概率 P(B ∪ R)，根据容斥原理，这个概率的计算公式是：
$$
P(B ∪ R) = P(B) + P(R) - P(B ∩ R)
$$
简单来说就是：两个事件单独发生的概率相加，再减去它们同时发生的概率（避免重复计算两种情况重叠的部分）。

接下来我们分别计算每一项：

1. 计算P(B)：恰好2张黑桃的概率 #

要抽到恰好2张黑桃，需要从13张黑桃中选2张，剩下的3张从非黑桃的39张牌（52-13）里选，所以事件B的样本数是：
|B| = C(13, 2) * C(39, 3)
对应的概率就是：
$$
P(B) = \frac{C(13, 2) * C(39, 3)}{C(52, 5)}
$$

2. 计算P(R)：恰好2张红桃的概率 #

红桃的数量和黑桃一样都是13张，非红桃的牌也是39张，所以这个情况和事件B完全对称，概率也相等：
$$
P(R) = \frac{C(13, 2) * C(39, 3)}{C(52, 5)}
$$

3. 计算P(B ∩ R)：恰好2张黑桃且恰好2张红桃的概率 #

这种情况是手牌里同时有2张黑桃、2张红桃，剩下1张只能是既不是黑桃也不是红桃的牌（方块+梅花，共26张）。所以事件B∩R的样本数是：
|B ∩ R| = C(13, 2) * C(13, 2) * C(26, 1)
对应的概率就是：
$$
P(B ∩ R) = \frac{C(13, 2) * C(13, 2) * C(26, 1)}{C(52, 5)}
$$

最终概率公式 #

把上面三项代入容斥原理的公式，就能得到最终的概率表达式：
$$
P(B ∪ R) = \frac{2*C(13, 2)C(39, 3) - [C(13, 2)]^2C(26, 1)}{C(52, 5)}
$$

如果要计算具体数值的话，代入组合数的计算结果：

• C(13, 2) = 78
• C(39, 3) = 9139
• C(26, 1) = 26
• C(52, 5) = 2598960

计算分子部分：
2*78*9139 - 78²*26 = 78*(2*9139 - 78*26) = 78*(18278 - 2028) = 78*16250 = 1267500

再除以分母得到：
$$
P(B ∪ R) ≈ \frac{1267500}{2598960} ≈ 0.4877 \quad (\text{即约48.77%})
$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者sbdchd