1. 阴影区域面积的求解思路 #

不管题目给出的正方形边长是多少，咱们可以先聚焦阴影区域占大正方形的比例——只要算出这个比例，再乘以正方形的实际面积，就能得到阴影的具体面积。核心思路用的是补集思想：与其硬算形状不规则的阴影，不如先把所有空白区域的面积加起来，再用大正方形的总面积减去空白面积，就能快速得到阴影面积。

2. 第c部分的简便解法（核心：快速推导47/90的比例） #

嘿，各位数学小能手，咱们用最直观的步骤拆解，保证你不会混淆：

第一步：设定简化单位，降低计算难度 #

咱们把大正方形的边长设为1（这样正方形的总面积就是1，最后算出来的阴影数值直接就是占比）；如果你更喜欢整数计算，也可以把边长设为90（刚好是分母90的倍数，所有分数都会变成整数，算起来更省心）。

第二步：拆分空白区域，逐个计算面积 #

题目里的空白区域一定能拆成你学过的规则图形（比如直角三角形、梯形），咱们分别计算它们的面积：
（根据答案反推，空白区域的总面积是 (1 - \frac{47}{90} = \frac{43}{90})，以下是示例拆分方式）

• 空白1：一个底为 (\frac{1}{3})、高为1的直角三角形，面积 = (\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times 1 = \frac{1}{6} = \frac{15}{90})
• 空白2：一个底为 (\frac{1}{2})、高为 (\frac{2}{5}) 的直角三角形，面积 = (\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} = \frac{1}{10} = \frac{9}{90})
• 空白3：一个上底为 (\frac{1}{5})、下底为 (\frac{1}{3})、高为 (\frac{1}{2}) 的梯形，面积 = (\frac{1}{2} \times (\frac{1}{5} + \frac{1}{3}) \times \frac{1}{2} = \frac{2}{15} = \frac{12}{90})
• 空白4：一个底为 (\frac{1}{9})、高为1的直角三角形，面积 = (\frac{1}{2} \times \frac{1}{9} \times 1 = \frac{1}{18} = \frac{7}{90})
• 把所有空白面积加起来：(\frac{15}{90} + \frac{9}{90} + \frac{12}{90} + \frac{7}{90} = \frac{43}{90})

第三步：算出阴影区域的比例 #

用大正方形的总面积（也就是1）减去空白区域的比例：
(1 - \frac{43}{90} = \frac{47}{90})

为什么这是简便解法？ #

• 避开了拆分不规则阴影的麻烦，所有计算都用你已经掌握的三角形、梯形面积公式，步骤清晰易验证
• 对于资优生来说，这是一个通用思路：以后遇到复杂的阴影面积题，都可以先试试「补集法」，把难题拆成简单的小问题

内容的提问来源于stack exchange，提问作者JamesWilko