我来分享几种清晰易懂的证明方法，从代数到几何都有，你可以根据自己的偏好选择：

方法一：向量法（最简洁） #

设向量$\overrightarrow{AB} = \mathbf{b}$，$\overrightarrow{AC} = \mathbf{c}$：

• BC边的长度$|BC| = |\mathbf{c} - \mathbf{b}|$
• 中线$m_a$是从A到BC中点M的线段，向量$\overrightarrow{AM} = \frac{\mathbf{b} + \mathbf{c}}{2}$，因此$m_a = \frac{|\mathbf{b} + \mathbf{c}|}{2}$

我们需要证明$\frac{|\mathbf{b} + \mathbf{c}|}{2} < \frac{|\mathbf{c} - \mathbf{b}|}{2}$，两边同时乘以2后，等价于证明$|\mathbf{b} + \mathbf{c}| < |\mathbf{c} - \mathbf{b}|$。

对两边平方（向量模长平方等于向量自身的点积）：
$$
(\mathbf{b} + \mathbf{c}) \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) < (\mathbf{c} - \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{c} - \mathbf{b})
$$
展开后抵消相同项，化简得：
$$
4\mathbf{b} \cdot \mathbf{c} < 0 \implies \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} < 0
$$

而向量点积$\mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = |\mathbf{b}||\mathbf{c}|\cos\angle CAB$，已知$\angle CAB$是钝角，$\cos\angle CAB < 0$，自然满足$\mathbf{b} \cdot \mathbf{c} < 0$。因此原命题成立。

方法二：中线公式+钝角三角形性质 #

直接用三角形中线长度公式，对于$\triangle ABC$，BC边的中线$m_a$满足：
$$
m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}
$$

要证明$m_a < \frac{1}{2}BC$，两边乘以2后平方（两边均为正数，平方不改变不等号方向）：
$$
2AB^2 + 2AC^2 - BC^2 < BC^2
$$
移项化简得：
$$
AB^2 + AC^2 < BC^2
$$

根据余弦定理，对于钝角$\angle CAB$：
$$
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos\angle CAB
$$
因为$\angle CAB$是钝角，$\cos\angle CAB < 0$，所以$-2AB \cdot AC \cdot \cos\angle CAB > 0$，因此$BC^2 > AB^2 + AC^2$，正好满足上面的不等式。原命题得证。

方法三：构造平行四边形（几何直观法） #

延长中线$AM$（M是BC中点）到点D，使得$AM = MD$，连接BD、CD：

• 由于M是BC中点且$AM=MD$，四边形ABDC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），因此$BD = AC$，且$AB \parallel CD$。
• 因为$\angle CAB$是钝角，$AB \parallel CD$，所以$\angle ABD = 180^\circ - \angle CAB$，是锐角。

根据平行四边形对角线平方和定理：
$$
AD^2 + BC^2 = 2AB^2 + 2AC^2
$$
代入$AD=2AM=2m_a$：
$$
4m_a^2 + BC^2 = 2AB^2 + 2AC^2
$$
结合方法二中$AB^2 + AC^2 < BC^2$的结论，代入得：
$$
4m_a^2 < 2BC^2 - BC^2 = BC^2
$$
两边开平方得$2m_a < BC$，即$m_a < \frac{1}{2}BC$，命题成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者IntelligentSandwich