嘿，这个问题其实是组合数学里经典的Sperner定理的特例，直接给结论：k的最大可能值就是组合数 $\binom{2n}{n}$——也就是当所有选定的子集都是U的n元子集时，这个数量达到最大。

下面结合提示里的思路，给你拆解一下为什么是这样：

一、直观构造：n元子集天然互不包含 #

首先很容易想到，所有的n元子集之间肯定不存在包含关系——毕竟如果子集A包含子集B，那A的元素个数必然比B多，但这里所有子集都是n个元素，元素数量完全相同，自然不可能有谁包含谁。这一步是最直观的构造，我们先得到了一个大小为$\binom{2n}{n}$的符合要求的子集族。

二、用随机过程验证这是最大值 #

提示里提到的两种思路，其实是从“概率期望”和“链的性质”两个角度来证明这个构造是最优的：

1. 随机链中最多出现一个选定子集 #

我们可以想象这样一个随机过程：从空集开始，逐个随机添加U中的元素，直到得到全集U，这个过程会形成一条递增的集合链：$\emptyset = S_0 \subset S_1 \subset ... \subset S_{2n} = U$，其中每个$S_i$是i元子集。

现在假设我们选了k个互不包含的子集，那在这条随机链里，最多能有几个我们选的子集？答案是1个。因为链里的集合是严格递增包含的，如果链里出现两个我们选的子集，那它们必然是包含关系，这和我们“任意子集互不包含”的要求矛盾，所以每条这样的随机链里最多只会出现一个选定的子集。

2. 期望法证明最大值无法超越 #

接下来我们算一下，这条随机链中，选定子集出现的期望数量：

• 对于一个任意的m元子集A，它出现在这条随机链里的概率是多少？其实这条随机链对应U中元素的一个随机排列（按排列顺序添加元素），A要出现在链里，就意味着排列的前m个元素恰好是A的所有元素。这样的排列数是$m!*(2n-m)!$（先排A的m个元素，再排剩下的元素），总排列数是$(2n)!$，所以概率就是$\frac{m!(2n-m)!}{(2n)!} = \frac{1}{\binom{2n}{m}}$。

假设我们选的k个子集的大小分别是$m_1,m_2,...,m_k$，那么这些子集在随机链中出现的期望总数就是：
$$E = \sum_{i=1}^k \frac{1}{\binom{2n}{m_i}}$$

但刚才我们已经知道，每条链里最多出现一个选定子集，所以这个期望E必然≤1（毕竟期望是所有链的平均出现次数，最多每条链出现1次，平均下来不会超过1）。

而组合数$\binom{2n}{m}$在m=n时达到最大值（这是组合数的对称性和单调性决定的，中间项最大），所以$\frac{1}{\binom{2n}{m}} ≤ \frac{1}{\binom{2n}{n}}$当且仅当m=n时取等号。

如果我们全选n元子集，那期望E就是$\binom{2n}{n} * \frac{1}{\binom{2n}{n}} = 1$，刚好满足E≤1的条件，此时k就是$\binom{2n}{n}$。

如果我们选了任何一个非n元的子集，那对应的$\frac{1}{\binom{2n}{m}}$会比$\frac{1}{\binom{2n}{n}}$大（因为$\binom{2n}{m}$更小），为了让总和E≤1，我们能选的子集数量k就必须比$\binom{2n}{n}$小——这就说明，选非n元子集的话，k不可能更大，所以$\binom{2n}{n}$就是k的最大值。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者duqu