我来帮你把这个泵引理证明过程整理得清晰规范，同时补全完整的推导逻辑：

首先明确语言G的定义：G = {fff | f ∈ {t,u}*}，也就是所有由某个${t,u}$上的字符串$f$重复三次组成的字符串集合。

接下来是具体的证明步骤：

• 假设$G$是正则语言，根据正则语言的泵引理，必然存在一个对应的泵长度$p$。对于任意长度不小于$p$的$G$中字符串$s$，都可以将其划分为$s = xyz$的形式，且满足以下三个核心条件：

  1. 对任意$i \geq 0$，$xy^iz$都属于$G$；
  2. $|y| > 0$（即$y$不是空串）；
  3. $|xy| \leq p$（$xy$的长度不超过泵长度$p$）。

• 我们选取字符串s = t^p u t^p u t^p u，显然这个字符串属于$G$——因为它是$f = t^p u$重复三次得到的（$fff = (t^p u)(t^p u)(t^p u)$），且其长度为$3(p+1) \geq p$（满足泵引理的长度要求）。

• 根据泵引理的第三个条件$|xy| \leq p$，$xy$只能包含$s$开头的至多$p$个t，也就是说$xy = t^h$，其中$0 < h \leq p$。我们进一步拆分$x$和$y$：设$x = t^j$（$j \geq 0$），$y = t^k$（$k > 0$，且$j + k = h$），那么剩余的部分$z$就是t^{p - h} u t^p u t^p u。

• 现在我们取$i=2$，对字符串进行泵操作，得到$xy^2z = t^j (t^k)2 t^{p - h} u t^p u t^p u$。代入$j + k = h$化简后，这个字符串可以写成t^{p + k} u t^p u t^p u。

• 现在分析这个泵操作后的字符串：它根本无法拆分成三个完全相同的子串。因为第一个t段的长度是$p + k$（$k>0$），而后面两个t段的长度都是$p$，无论怎么拆分，都不可能得到三个完全一致的$f$来满足$fff$的形式。这就意味着$xy^2z$不属于$G$，直接违反了泵引理的第一个条件。

• 由此可知，最开始“$G$是正则语言”的假设不成立，因此语言$G$不是正则语言。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Fox