嘿，这个三角函数证明问题咱们可以从三角恒等变换转代数方程的思路来突破，一步步来拆解：

第一步：对分式做恒等变形 #

因为a、b、c都是非零锐角，所以$\sin(a+b)$、$\sin(b+c)$、$\sin(c+a)$都不为0，放心做变形。

对于任意两个锐角x、y，利用正弦的和差公式展开分式：

$$\frac{\sin(x - y)}{\sin(x + y)} = \frac{\sin x \cos y - \cos x \sin y}{\sin x \cos y + \cos x \sin y}$$

分子分母同时除以$\cos x \cos y$（锐角的余弦值不为0），就能把分式转化为正切的形式：
$$\frac{\sin(x - y)}{\sin(x + y)} = \frac{\tan x - \tan y}{\tan x + \tan y}$$

第二步：转化为代数方程 #

设$x = \tan a$，$y = \tan b$，$z = \tan c$，由于a、b、c是锐角，所以x、y、z都是正实数。把这个代入原等式，原三角等式就变成了关于x、y、z的代数方程：
$$\frac{x - y}{x + y} + \frac{y - z}{y + z} + \frac{z - x}{z + x} = 0$$

第三步：通分整理并因式分解 #

先合并前两项，计算分子：
$$(x - y)(y + z) + (y - z)(x + y) = 2y(x - z)$$
所以前两项合并后得到：
$$\frac{2y(x - z)}{(x + y)(y + z)} + \frac{z - x}{z + x} = 0$$

注意到$z - x = -(x - z)$，提取公因式$(x - z)$：
$$(x - z)\left( \frac{2y}{(x + y)(y + z)} - \frac{1}{z + x} \right) = 0$$

接下来对括号内的部分通分，计算分子：
$$2y(z + x) - (x + y)(y + z) = (x - y)(y - z)$$

于是整个式子可以写成：
$$(x - z) \cdot \frac{(x - y)(y - z)}{(x + y)(y + z)(z + x)} = 0$$

第四步：推导结论 #

因为x、y、z都是正实数，分母$(x + y)(y + z)(z + x)$肯定不为0，所以必须满足：
$$(x - y)(y - z)(z - x) = 0$$

这意味着x、y、z中至少有两个相等，对应的$\tan a$、$\tan b$、$\tan c$至少有两个相等。而正切函数在$(0, \pi/2)$上是严格单调递增的，所以a、b、c中至少有两个角相等，得证。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者User973