嘿，我来帮你搞定这个归纳法证明的问题！其实根本不需要什么复杂的现成公式，咱们一步步拆解，很容易就能完成推导。

数学归纳法的核心逻辑就是「先验证起点，再假设中间成立，最后推导下一个也成立」，咱们按这个节奏来：

第一步：验证基础情况（以正整数n=1为例） #

把n=1代入式子计算：
1² + 1 + 3 = 1 + 1 + 3 = 5
5是奇数，所以基础情况完全成立。
（如果考虑n=0的话，代入得0+0+3=3，也是奇数，同样没问题）

第二步：做出归纳假设 #

假设当n=k（k是任意正整数）时，$k^2 + k + 3$是奇数。根据奇数的定义，我们可以把这个式子写成：
$k^2 + k + 3 = 2m + 1$，其中m是某个整数。

第三步：推导n=k+1的情况 #

现在要证明当n=k+1时，$(k+1)^2 + (k+1) + 3$也是奇数。先把这个式子展开化简：

(k+1)² + (k+1) + 3 = (k² + 2k + 1) + k + 1 + 3
= k² + 2k + 1 + k + 4
= (k² + k + 3) + 2k + 2

看这个结果：

• 前半部分$(k² + k + 3)$就是我们归纳假设里的奇数，也就是2m+1；
• 后半部分$2k+2 = 2(k+1)$，这明显是2的倍数，属于偶数。

咱们都知道：奇数 + 偶数 = 奇数，所以把两部分加起来的结果肯定是奇数。如果要更严谨地写，代入归纳假设的式子：
$(2m+1) + 2(k+1) = 2(m + k + 1) + 1$
这完全符合奇数的定义（2倍整数加1），所以n=k+1时式子也成立。

结论 #

根据数学归纳法的规则，对于所有正整数n，$n^2 + n + 3$都是奇数。

另外提一句，其实不用归纳法也能快速判断：$n² + n = n(n+1)$，这是两个连续整数相乘，连续整数里必有一个偶数，所以n(n+1)是偶数，偶数加3（奇数）结果自然是奇数。不过既然你要的是归纳法证明，上面的步骤就完全够用啦！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者gefavasej