已知条件 #

• $f(x)$是$\mathbb{R}$上的连续函数
• $\lim_{x\to\infty}\left(f(x+1)-f(x)\right)=0$

证明思路 #

你提到的序列极限准则和$\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}f(x+1)$的观察非常关键，我们可以结合连续函数的有界性，沿着这个思路严谨推导。要证$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=0$，等价于证明：对任意趋于$+\infty$的序列${x_n}$，都有$\lim_{n\to\infty}\frac{f(x_n)}{x_n}=0$。

详细证明过程 #

1. 利用连续函数的有界性
   因为$f(x)$在$\mathbb{R}$上连续，所以它在闭区间$[0,1]$上必有界——也就是说存在常数$C>0$，对所有$t\in[0,1]$，都有$|f(t)|\leq C$。

2. 应用差极限的定义
   对任意给定的$\epsilon>0$，由$\lim_{x\to\infty}(f(x+1)-f(x))=0$可知：存在$M>0$，当$x>M$时，$|f(x+1)-f(x)|<\frac{\epsilon}{2}$。

3. 拆分任意大的$x$
   对任意$x>M$，我们可以把$x$写成$x = n + t$的形式：其中$n$是大于$M$的正整数，$t\in[0,1)$。此时$f(x)$可以拆成递推求和的形式：
   $$
   f(x) = f(n+t) = f(t) + \sum_{k=0}^{n-1}\left[f(t+k+1)-f(t+k)\right]
   $$

4. 估计$f(x)$的绝对值
   对上面的等式取绝对值，用三角不等式展开：
   $$
   |f(x)| \leq |f(t)| + \sum_{k=0}^{n-1}\left|f(t+k+1)-f(t+k)\right|
   $$
   代入之前的有界性和差的估计结果：
   $$
   |f(x)| \leq C + n\cdot\frac{\epsilon}{2}
   $$

5. 估计$\frac{|f(x)|}{x}$的上限
   因为$x = n + t > n$，所以$\frac{1}{x} < \frac{1}{n}$，代入上式得：
   $$
   \frac{|f(x)|}{x} < \frac{C}{n} + \frac{\epsilon}{2}
   $$
   当$n$足够大时（比如取$n > \frac{2C}{\epsilon}$），$\frac{C}{n} < \frac{\epsilon}{2}$，此时：
   $$
   \frac{|f(x)|}{x} < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon
   $$

这就说明，当$x$足够大时，$\frac{|f(x)|}{x}$可以小于任意给定的$\epsilon>0$，即$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=0$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jojo98