嘿，我完全懂你现在的困惑——向量和它对应的基之间的绑定关系，确实是线性代数里最容易绕晕的点之一，尤其是碰到线性变换的坐标表示时！

核心问题：坐标是「基依赖」的 #

你之前的思路是直接把标准基下的向量 v₁=(1,2,3) 乘以2得到 (2,4,6)，这是默认用标准基（也就是 {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}）来计算，但题目里的正确答案 (2,0,0)，本质是因为我们用了非标准基来表示向量和变换结果。

举个具体的例子：
假设题目里采用的基是 B = {v₁, v₂, v₃}（这里的 v₁=(1,2,3) 是它在标准基下的坐标），那么：

• v₁ 在基 B 下的坐标是 (1,0,0)（因为它本身就是第一个基向量）
• 题目说“v₁ 的像等于2倍 v₁”，也就是线性变换 T 满足 T(v₁)=2v₁
• 那么 T 作用在 v₁ 的基 B 坐标上，就是把 (1,0,0) 缩放2倍，得到 (2,0,0)——这就是题目给出的正确答案！

为什么你的计算和答案不一样？ #

你混淆了「向量本身」和「向量在某个基下的坐标」：

• v₁ 作为一个几何向量（或者说抽象向量），它本身是固定的，但它的坐标会随着基的变化而变化
• 你用标准基计算得到的 (2,4,6)，是 2v₁ 在标准基下的坐标；而题目要的是 2v₁ 在以v₁为第一个基向量的基下的坐标，也就是 (2,0,0)

关键总结 #

• 永远记住：没有无基的坐标，任何向量的坐标数值都必须对应某个特定的基
• 线性变换的结果坐标，完全依赖于你用来表示向量的基
• 当题目说“向量的像等于k倍自身”，这里的“k倍自身”的坐标，是在当前题目所用的基下的表达，不是默认的标准基

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user415285