我给你几个逐步推进的思路，你可以跟着试试：

• 先把问题坐标化，用代数语言描述各段长度
  把直角顶点C放在坐标原点(0,0)，BC放在x轴上，AC放在y轴上，这样各点坐标就很清晰了：A(0,b)，B(a,0)，斜边AB的直线方程可以写成$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$（也就是$bx + ay - ab = 0$）。设P点坐标为$(p,0)$（$0≤p≤a$），Q点坐标为$(0,q)$（$0≤q≤b$）。

• 把$KP$、$QH$、$PQ$都用p和q表示出来
  根据点到直线的距离公式，P到AB的垂直距离$KP = \frac{b(a-p)}{\sqrt{a^2+b2}}$，Q到AB的垂直距离$QH = \frac{a(b-q)}{\sqrt{a^2+b2}}$；而PQ是直角三角形CPQ的斜边，长度就是$\sqrt{p^2+q2}$。这样目标总和就变成了关于p和q的二元函数：
  $$f(p,q) = \frac{b(a-p)}{\sqrt{a^2+b2}} + \sqrt{p^2+q2} + \frac{a(b-q)}{\sqrt{a^2+b2}}$$

• 化简目标函数，分离常数和变量部分
  把式子整理一下，把常数项提出来：
  $$f(p,q) = \frac{2ab}{\sqrt{a^2+b2}} + \left( \sqrt{p^2+q2} - \frac{bp + aq}{\sqrt{a^2+b2}} \right)$$
  现在问题转化为求括号里部分的最小值，因为前面的$\frac{2ab}{\sqrt{a^2+b2}}$是固定常数。

• 用代数变形或者向量几何分析变量部分
  对括号里的部分做分子有理化（或者用向量投影的思路）：把$\sqrt{p^2+q2} - \frac{bp + aq}{\sqrt{a^2+b2}}$通分后，分子展开会得到$(ap - bq)^2$，分母是正数，所以这个部分大于等于0，当且仅当$ap = bq$时取到0。

• 验证最小值的情况
  当$ap = bq$时，括号部分为0，此时$f(p,q)$等于$\frac{2ab}{\sqrt{a^2+b2}}$。你可以再代入特殊值验证，比如令p=0、q=0（也就是P、Q都和C重合），此时KP和QH都是C到AB的距离，PQ=0，总和正好是$2\times\frac{ab}{\sqrt{a^2+b2}}$，和我们得到的结果一致。另外你也可以对满足$ap=bq$的情况（比如设$p=ka$，$q=kb$，k∈[0,1]）构造关于k的函数，求导后会发现这个函数是单调递增的，最小值确实在k=0时取得。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Trobeli