我之前也研究过类似的幂函数连分式展开问题，给你几个实用的方向来推导这个通用形式：

• 从通用幂函数连分式框架入手
  对于$(1+z)^{α$这类形式，有成熟的广义连分式展开公式可以套用。当α=1/4时，你可以先从$(1+z)}α$的通用连分式展开式出发：

  (1+z)^α = 1 + \frac{α z}{1 + \frac{(1-α) z}{2 + \frac{(2α-1) z}{3 + \frac{(3-α) z}{4 + ...}}}}
  

  把α=1/4代入后，逐次写出前几项，再归纳第$k=n$项的分子系数和分母常数的规律。比如代入后，前几项的分子依次是$\frac{1}{4}z$、$\frac{3}{4}z$、$\frac{-1}{4}z$、$\frac{5}{4}z$……分母则是1、2、3、4这样的整数，你可以尝试找出这些系数和n的对应关系。

• 归纳具体项的规律
  如果你已经有WolframAlpha给出的前几项连分式结果，直接观察每一项的分子和分母与项数n的关系是最直接的方法。比如：

  • 第1个分式（k=1）：分子为$\frac{1}{4}z$，分母为4（可根据Wolfram的实际输出形式调整）
  • 第2个分式（k=2）：分子为$\frac{3}{4}z$，分母为2
  • 第3个分式（k=3）：分子为$\frac{1}{4}z$，分母为6
    把这些项列出来后，你可以尝试用n的奇偶性分情况写出通用表达式——通常这类连分式的奇数项和偶数项会有不同的系数规律。

• 参考经典特殊函数资料
  如果你想找更严谨的理论推导，推荐去查关于连分式分析的经典书籍，比如《Continued Fractions: Analytic Theory and Applications》（Lorentzen & Waadeland），里面专门有章节讲解幂函数的连分式展开，包括$(1+z)^α$这类形式的通用项表达式，你可以直接找到对应α=1/4的情况。另外，一些特殊函数手册里也会收录这类展开的递推公式，帮你快速得到第n项的通用形式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Robert Seifert