嘿，这个问题其实用闭区域上连续函数的最值定理就能轻松搞定，我给你一步步理清楚逻辑：

• 第一步：确认函数连续性
  $f(x,y)$是多项式$(x^2-y2)$和指数函数$e^{-x2-y^2}$的乘积，这两个函数在整个$\Bbb R^2$上都是连续的，所以它们的乘积$f(x,y)$也在$\Bbb R^2$上处处连续——这是我们后续推理的基础。

• 第二步：分析无穷远处的函数趋势
  令$r^2 = x^2 + y^{2$（极坐标下的半径平方），那么$f(x,y)$可转化为$r}2\cos2\theta \cdot e^{-r2}$（这里$\cos2\theta = \cos^2\theta - \sin^{2\theta$）。当$r\to+\infty$时，$r}2e^{-r2}$的极限是0（指数衰减的速度远快于多项式增长），而$\cos2\theta$的绝对值始终不超过1，因此整个$f(x,y)$的极限为0。

• 第三步：构造有界闭区域并应用最值定理
  既然当$r$足够大时，$|f(x,y)|$会趋近于0，我们可以取一个足够大的正数$R$，使得当$\sqrt{x^2+y2}>R$时，$|f(x,y)| < \frac{1}{e}$（这个$\frac{1}{e}$是你之前找到的极值点$(1,0)$处的函数值）。

  现在考虑闭圆盘$D = {(x,y) | x^2 + y^2 \leq R}$，这是一个有界闭区域，而$f$在$D$上连续。根据闭区域上连续函数的最值定理，$f$在$D$上一定能取到最大值$M$和最小值$m$。

• 第四步：比较区域内外的函数值
  对于圆盘$D$外的所有点，$|f(x,y)| < \frac{1}{e}$；而圆盘$D$内包含了你之前找到的极值点：$(1,0)$和$(-1,0)$处$f$的值为$\frac{1}{e}$，$(0,1)$和$(0,-1)$处$f$的值为$-\frac{1}{e}$。这些值的绝对值都比圆盘外的函数值大，因此$D$上的最大值$M$就是整个$\Bbb R^2$上的全局最大值，最小值$m$就是全局最小值。

这样就完整证明了$f$能取到全局最大值和最小值啦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Guy Fsone