无需复杂代换求解一般三次方程：推导卡壳求后续方法

我最近试着不用那些复杂的代换方法来求解一般形式的三次方程：
$$ ax^3+bx2+cx +d = 0 $$
首先因为$a≠0$，我把方程两边都除以$a$，再把$\frac{d}{a}$移到等式右侧，经过一番化简后得到了这个式子：
$$ (x + \frac{b}{3a}) \left[ (x+\frac{b}{3a})^2 - \frac{b^2-3ac}{3a2} \right] = \frac{9abc-27a^2d-2b3}{27a^3} $$

我能看出来左边是一次函数和顶点式二次函数的乘积，但到这一步就卡壳了，不知道该怎么继续往下推进求解了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者skinny_mike