这个问题把三角形角平分线的性质拓展到了三维空间，挺值得琢磨的，咱们一步步理清楚：

首先明确题目里的核心定义：

棱锥的顶点角平分线，是从顶点出发、与该顶点所有相邻棱夹角相等的直线，是三角形角平分线的自然立体推广。

下面分不同类型的棱锥给出结论：

1. 三棱锥（四面体） #

三棱锥所有顶点角平分线共点的充要条件有两种等价表述：

• 三棱锥的三组对棱分别成等角；
• 该三棱锥可以内接于一个长方体（也就是三棱锥的四个顶点恰好是长方体的四个不共面顶点）。

为什么呢？因为长方体的体对角线就是每个顶点的角平分线，所有体对角线刚好交于长方体的中心，自然共点；反过来，如果三棱锥的顶点角平分线共点，这个点必然是对应外接长方体的中心。

2. n棱锥（n≥3，底面为n边形） #

对于一般的n棱锥，所有顶点角平分线共点的充要条件可以这样描述：

存在一个点Q，使得Q到棱锥的每一条棱的距离都相等（这个点被称为棱锥的“棱心”），并且Q在每个顶点的角平分线上。

另外还有一个好记的充分条件（不是必要条件）：当棱锥是正棱锥时（底面为正多边形，且锥顶在底面的投影恰好是底面中心），所有顶点角平分线必然共点于底面中心——锥顶的角平分线就是它的高，底面每个顶点的角平分线就是正多边形顶点到中心的连线，这些直线自然都交于中心。

补充个小细节：对于任意凸棱锥，每个顶点的角平分线都是唯一存在的（凸多面角里，有且仅有一条和所有棱夹角相等的直线），所以共点的核心就是这些唯一的直线都经过同一个点，而这个点必须同时满足到所有棱等距、在每条角平分线上这两个要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ali Taghavi