这题用导数结合二次函数的性质就能搞定，一步步来拆解：

先明确基础关系 #

设咱们要找的二次函数为：
$$y = ax^2 + bx + c$$
二次函数的导数就是任意点处的切线斜率，导数公式很简单：
$$y' = 2ax + b$$
注意题目里给的是切线与x轴的夹角，所以斜率得转换成正切值（斜率 $k = \tan\theta$，$\theta$ 就是题目里的角度）。

把已知条件转成方程 #

根据题目里的两个条件，咱们可以列出三个方程：

1. 当 $x=50$ 时，切线斜率对应30°，代入导数公式：
   $$2a \times 50 + b = \tan(30°)$$
   简化后就是：
   $$100a + b = \tan30°$$
2. 对于纵坐标为80的点（咱们设这个点的横坐标为 $x_2$），有两个约束：
   • 这个点肯定在二次函数上，所以：
     $$ax_2^2 + bx_2 + c = 80$$
   • 该点的切线斜率对应40°，代入导数公式：
     $$2ax_2 + b = \tan(40°)$$

求解方程（参数化解法） #

现在咱们有3个方程，但未知数是 $a, b, c, x_2$ 一共4个，所以没法得到唯一的固定解，只能得到以 $x_2$ 为参数的一族二次函数，具体推导步骤如下：

• 先从第一个导数方程解出 $b$：
  $$b = \tan30° - 100a$$
• 把 $b$ 代入第二个导数方程，整理后就能得到 $a$ 的表达式：
  $$2ax_2 + \tan30° - 100a = \tan40°$$
  $$a(2x_2 - 100) = \tan40° - \tan30°$$
  $$a = \frac{\tan40° - \tan30°}{2(x_2 - 50)}$$
• 把求出的 $a$ 代回 $b$ 的表达式，就能得到 $b$ 关于 $x_2$ 的式子；再把 $a$ 和 $b$ 代入二次函数的点方程，就能解出 $c$ 关于 $x_2$ 的表达式。

只要 $x_2 \neq 50$（保证分母不为0），随便选一个合法的 $x_2$ 代入，都能得到一个满足题目要求的二次函数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Susan T. Erickson