别着急，这种不同形式的公式等价性困惑在数论文献里真的挺常见的——切比雪夫在研究ζ函数时，确实推导过多个相关表达式，很多都是通过级数重排、欧拉乘积转换或者积分表示变形得到的，看起来形式差异大，但本质是等价的。

一、先理清两个公式的核心类型 #

切比雪夫在$\text{Re}(s) > 1$条件下的ζ函数相关公式，常见的有几类核心形式：

• 一类是基于**素数计数函数$\pi(x)$**的积分形式，比如：
  ζ(s) = s ∫₁^∞ π(x) x^(-s-1) dx
• 另一类是基于**von Mangoldt函数$\Lambda(n)$**的级数形式，比如：
  -ζ'(s)/ζ(s) = ∑ₙ=1^∞ Λ(n) n^(-s)
  还有可能是和切比雪夫$\psi(x)$、$\theta(x)$函数结合的表达式，或者欧拉乘积的变形版本。如果你的$(01)$和$(02)$分别属于不同类型，看起来不相似太正常了，但通过数论函数的基本关系（比如$\psi(x) = \sum_{n≤x}\Lambda(n) = \theta(x) + \theta(x^{1/2}) + \theta(x^{1/3}) + ...$）就能建立等价性。

二、证明等价性的通用思路 #

如果要动手证明两个公式等价，可以按这个步骤来：

1. 拆解特殊函数定义：把两个公式里出现的$\pi(x)$、$\Lambda(n)$这类数论函数用原始定义展开，看看能不能找到互相转换的突破口。
2. 利用ζ函数的收敛性质：在$\text{Re}(s) > 1$时，ζ函数是绝对收敛的，所以可以放心地做级数重排、积分交换顺序（满足勒贝格控制收敛定理的前提下）。比如从积分形式转级数形式，就可以把$\pi(x)$写成阶梯函数，用分部积分法直接转化为级数形式。
3. 特殊值验证小技巧：可以取$\text{Re}(s) > 1$的具体值（比如$s=2$），分别计算两个公式左右两边的结果，如果数值一致，那大概率是等价的——这是快速验证的实用方法。

三、关于“哪篇论文公式正确”的问题 #

只要两篇论文都明确标注了条件是$\text{Re}(s) > 1$，且推导过程没有逻辑漏洞，那大概率都是正确的——只是选择了不同的表达形式而已。切比雪夫的原始论文里本身就推导了多个相关表达式，后来的文献会根据自己的研究侧重，选择最适合的形式来引用。

如果还是拿不准，你可以：

• 回溯到切比雪夫1850年代关于素数分布的原始论文，对比原始公式的形式；
• 检查两篇论文里的数论函数定义，有没有和通用定义不一致的地方（比如少数文献里$\pi(x)$的定义会细微调整，但本质不影响公式的正确性）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者zeraoulia rafik