我来帮你把这最后一步理清楚～你已经求出通解了，离答案只差临门一脚啦！

首先回顾你得到的通解：

y(t) = ce^t -\frac{3}{2}\sin t-\frac{3}{2} \cos t-1

接下来我们分析各项当t→∞时的趋势：

• 对于ce^t这一项：指数函数e^t当t→∞时会趋向正无穷，如果c≠0，不管c是正还是负，这一项都会把整个解拉向正无穷或者负无穷，导致解无法保持有限。
• 对于后面的-\frac{3}{2}\sin t-\frac{3}{2} \cos t-1：因为sin t和cos t都是有界函数（取值始终在[-1,1]之间），所以这整个部分是有界的，不会趋向无穷。

所以要让t→∞时解保持有限，必须让那个会趋向无穷的指数项消失，也就是要求c=0。

接下来结合初值条件计算y₀：
你已经算出当t=0时，y(0) = -\frac{5}{2} + c，而题目给出y(0)=y₀，所以y₀ = -\frac{5}{2} + c。当c=0时，代入可得：

y₀ = -\frac{5}{2}

最后解释这个y₀的含义：
这个y₀=-5/2是唯一的初值，当取这个初值时，解就简化为y(t) = -\frac{3}{2}\sin t-\frac{3}{2} \cos t-1，这是一个有界函数（正弦、余弦的有界性决定了整个解的取值范围有限），所以当t趋向无穷时，解会在有限区间内波动，不会跑向无穷；如果初值不是这个值，解里的指数项会随着t增大主导解的行为，最终让解趋向正无穷或者负无穷。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mathstatsstudent