这是个直击量子场论和泛函积分底层逻辑的好问题——咱们从几个关键角度拆解来看：

1. 收敛性：你猜的没错，一般情况下确实不收敛 #

首先，咱们得明确：你提到的积分$$\int\mathcal{D}S,e^{-Z[S]}$$要收敛，至少得满足两个核心前提：

• 第一，$Z[S]=\int\mathcal{D}\phi,e^{-S[\phi]}$本身得是有限且良定义的数，但大多数非高斯型的作用量$S[\phi]$，对应的配分函数$Z[S]$在没有严格正则化/重正化的情况下都是发散的；
• 第二，就算$Z[S]$有限，泛函空间的“体积”是无限维的，没有自然的Lebesgue型测度，而$e^{-Z[S]}$的衰减速度完全不足以抵消无限维空间的“测度发散”——就像你在无限维欧氏空间里对任意非高斯函数积分，几乎不可能收敛。

2. 定义良好性：严格数学框架下几乎不存在 #

泛函空间积分的核心难点在于无限维空间没有自然的测度：有限维里我们有Lebesgue测度，但到了无限维，只有少数特殊测度（比如高斯测度）能被严格定义，而这里的权重$e^{-Z[S]}$显然不是高斯型的——$Z[S]$是作用量的泛函，本身就高度非线性，所以没法用标准的泛函分析工具给这个积分一个严格的数学定义。

而且更根本的是，“所有可能的作用量$S[\phi]$的集合”本身就没有清晰的数学结构：作用量可以是任意局域算符的组合，参数空间是无限维的，甚至连两个作用量之间的“距离”都没有统一的定义，这就更没法谈积分的基础了。

3. 形式化研究中的启发式意义 #

虽然严格定义不存在，但在物理研究的形式化框架里，这种构造还是有启发价值的：

• 它可以被看作是对所有可能的量子场论的“加权求和”——把$e^{-Z[S]}$理解为某个理论（由$S$刻画）的“权重”，积分就是在理论空间上的平均，这在讨论重正化群流的普适性、有效场论的层级结构时，能帮我们定性思考不同理论之间的关联；
• 在统计力学里，类似的“哈密顿量空间积分”被用来讨论系综的系综，是一种层级化的统计构造，用来描述系统本身的参数也存在涨落的情况；
• 弦论中也有类似的思路，比如对世界面作用量的泛函积分，不过那是针对更特殊的、具有对称性约束的作用量集合。

4. 从普通积分经验的借鉴 #

从有限维积分的经验来看，积分的存在依赖三个要素：测度、可积函数、积分区域的结构。放到泛函积分里：

• 测度：无限维空间必须先指定合适的测度（比如高斯测度、正则化后的截断测度），但作用量空间没法自然定义这种测度；
• 可积性：被积函数的衰减速度必须能抵消空间的“体积发散”，而$e^{-Z[S]}$显然做不到这一点；
• 区域结构：作用量空间没有清晰的拓扑或代数结构，连“积分区域”都没法严格界定。

所以这种积分本质上是一种物理启发式的形式工具，而非严格的数学对象，但它能帮我们触及“量子场论的空间”这种抽象概念，推动一些定性的研究。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user140561