嘿，我来帮你搞定这个求二次函数上点A坐标的问题！既然要求不能用导数，咱们就靠二次函数的基础代数性质来解决，下面分几种常见的场景给你讲明白：

如果点A是二次函数的顶点（也就是函数的最高点或最低点），用配方法就能轻松求出坐标，完全不用导数：

• 对于一般形式的二次函数 y = ax² + bx + c（a≠0），我们把它配方转化为顶点式：
  y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}
• 顶点（点A）的坐标就是 \left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right)
• 举个实际例子：比如二次函数 y = 2x² - 8x + 3，配方法过程如下：

  y = 2(x² - 4x) + 3
  = 2(x² - 4x + 4 - 4) + 3
  = 2(x-2)² - 8 + 3
  = 2(x-2)² -5
  

  所以点A（顶点）的坐标就是 (2, -5)

如果点A是二次函数和一条直线的唯一交点（也就是切线的切点），咱们可以用一元二次方程判别式来求解：

• 假设二次函数是 y = ax² + bx + c，直线方程是 y = kx + d，先联立两个方程，把直线的y代入二次函数：
  kx + d = ax² + bx + c
• 整理成标准的一元二次方程形式：
  ax² + (b - k)x + (c - d) = 0
• 因为是切点，这个方程有且只有一个解，所以判别式必须等于0：
  Δ = (b - k)² - 4a(c - d) = 0
• 先通过Δ=0求出未知参数（如果有的话），再把求得的x值代入直线或二次函数，就能算出对应的y值，得到点A的坐标
• 举个例子：二次函数 y = x²，直线 y = 2x - 1，求切点A：
  联立得 x² = 2x -1，整理为 x² - 2x + 1 = 0，计算判别式Δ=(-2)² - 4×1×1=0，解得x=1，代入直线得y=2×1 -1=1，所以点A的坐标是 (1, 1)

如果点A是二次函数上到某个定点P(m,n)距离最近的点，咱们可以用代数方法转化为二次函数求最值：

• 设点A的坐标为 (x, ax² + bx + c)，根据距离公式，A到P的距离平方为：
  d² = (x - m)² + (ax² + bx + c - n)²
• 把这个式子展开整理后，会得到一个关于x的四次函数，但其实可以把它看作以x为变量的二次函数（或者通过换元+配方法找最小值），找到使d²最小的x值，再代入二次函数求出y，就是点A的坐标
• 比如定点P(0,0)，二次函数 y = x² + 1，求最近点A：
  距离平方 d² = x² + (x² +1)^2 = x^4 + 3x² +1，令t = x²（t≥0），则d² = t² +3t +1，这是关于t的二次函数，由于t≥0，当t=0时d²最小，即x=0，y=1，点A坐标是(0,1)

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Marva Jami