嗨，我来帮你把这些知识点串起来，从概念区分到具体证明一步步理清楚：

首先：幂级数和泰勒级数是不是一回事？ #

简单说：泰勒级数是幂级数的子集，但不是所有幂级数都是泰勒级数。

• 幂级数的定义是形如 $\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n$ 的无穷级数，其中 $c_n$ 是常数，$a$ 是展开中心，只要系数和形式符合就叫幂级数，不管它是不是从某个函数展开来的。
• 泰勒级数则是针对某个特定函数 $f(x)$，在点 $a$ 处展开的幂级数，系数 $c_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}$——也就是说，泰勒级数是“从函数生出来”的幂级数，是幂级数里的一类特殊情况。

举个例子：$\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ 既是 $e^x$ 在0点的泰勒级数，也是一个幂级数；但随便写一个 $\sum_{n=0}^\infty n^2 x^n$ 是幂级数，却不一定是某个初等函数的泰勒级数。

用aˣ的幂级数无穷可微推导连续性 #

我们先从aˣ的幂级数展开入手，再结合幂级数的性质来推导：

1. 写出aˣ的幂级数：
   因为 $a^x = e^{x \ln a}$，而我们知道 $e^t$ 在0点的泰勒级数是 $\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}$，把 $t = x \ln a$ 代入，就能得到：
   $$a^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(\ln a)^n x^n}{n!}$$
   这个幂级数的收敛半径是 $\infty$（因为 $e^t$ 的收敛半径是 $\infty$，代入后收敛半径不变），也就是说它在整个实数轴 $\mathbb{R}$ 上都收敛。

2. 幂级数的无穷可微性：
   敲黑板！幂级数有个核心性质：在收敛区间的内部，幂级数可以逐项求导，而且求导后的新幂级数收敛半径和原级数一样。
   对于 $a^x$ 的这个幂级数，收敛区间是全体实数，所以我们可以对它无穷次逐项求导——这意味着它的和函数（也就是 $a^x$ 本身）在 $\mathbb{R}$ 上是无穷可微的，每一点都能求任意阶导数。

3. 从无穷可微到连续性：
   这一步逻辑很直接：如果一个函数在某点可微，那么它在该点一定连续（这是微积分里的基础结论，可微的定义就包含了连续的条件）。
   既然 $a^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上每一点都可微（甚至无穷可微），那它在每一点都连续，自然就是处处连续的。

额外补充：更直接的连续性证明路径 #

其实不用绕无穷可微，幂级数还有另一个关键性质：在收敛区间内，幂级数是一致收敛的。而一致收敛的连续函数项级数，它的和函数也是连续的。
因为 $a^x$ 的幂级数在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛（收敛半径∞，且在任何有限闭区间上都一致收敛），所以直接就能得出它的和函数 $a^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续。不过你提到想用无穷可微来推导，所以前面的路径更贴合你的需求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Cookiedough