嘿，咱们一步步拆解这个问题，看看你用两种方法得到的结果到底对不对～

首先明确原方程：
$$x^2 = \frac{x-y}{x+y}$$

先看第二种方法的推导过程 #

你先把等式两边同乘$x+y$（这里要注意$x+y \neq 0$，不然原方程无意义），得到：
$$x^2(x+y) = x - y$$
展开左边后变成：
$$x^3 + x^2 y = x - y$$

接下来对两边关于$x$求导，左边用乘积法则，右边直接求导：

• 左边求导：$3x^2 + 2x y + x^2 y'$
• 右边求导：$1 - y'$

把含$y'$的项移到一边，其他项移到另一边：
$$x^2 y' + y' = 1 - 3x^2 - 2x y$$
提取$y'$：
$$y'(x^2 + 1) = 1 - 3x^2 - 2x y$$
最后解出$y'$：
$$y'(x) = -\frac{3 x^2 + 2 x y - 1}{x^2 + 1}$$

这个推导逻辑严谨，每一步都没问题，结果是正确的。

再看第一种方法的推导 #

你直接对原方程左右两边求导，左边用幂函数法则得到$2x$，右边用商数法则：
$$\frac{(1 - y')(x+y) - (x-y)(1 + y')}{(x+y)^2}$$

咱们化简右边的分子：
$$(1 - y')(x+y) - (x-y)(1 + y') = (x+y) - y'(x+y) - (x-y) - y'(x-y)$$
合并同类项后：
$$2y - 2x y'$$

原等式变成：
$$2x = \frac{2y - 2x y'}{(x+y)^2}$$
约掉两边的2，再乘$(x+y)^2$：
$$x(x+y)^2 = y - x y'$$
解出$y'$：
$$y' = \frac{y}{x} - (x+y)^2$$
展开$(x+y)^2$后就是你得到的结果：
$$y'(x) = -x^2 - 2 x y + \frac{y}{x} - y^2$$

这个推导过程也没有错误！那为什么两个结果看起来不一样？

两个结果其实是等价的 #

因为原方程给出了$x$和$y$的约束关系，我们可以用原方程把其中一个结果转化为另一个。从原方程$x^2(x+y)=x-y$，可以解出$y$的表达式：
$$y = \frac{x(1 - x^2)}{x2 + 1}$$

把这个$y$代入任意一个结果，化简后都会得到完全一致的表达式——本质上它们是同一个结果的不同写法而已。

所以结论是：两种方法得到的结果都是正确的，只是形式不同，通过原方程的约束可以相互转化。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者MR. Raindrop