这是Perron定理证明里非常关键的一步，咱们一步步来拆解怎么找到这个符合要求的c：

首先明确已知前提：

• ψ是Perron特征值ρ(A)的正特征向量（每个分量ψᵢ > 0）；
• ψ₀是与ψ线性无关的实特征向量（已经通过取实部/虚部转化为实向量了），满足Aψ₀ = ρ(A)ψ₀；
• 我们需要找c>0，使得ψ−cψ₀的所有分量非负，且至少有一个分量为0。

核心思路 #

因为ψ全正，ψ₀和ψ线性无关，所以ψ₀不可能是ψ的正/负倍数（否则就线性相关了），这意味着ψ₀必然同时存在正分量和负分量（零分量不影响核心逻辑）。

对于每个分量i，我们要求ψᵢ - cψ₀ᵢ ≥ 0：

• 当ψ₀ᵢ < 0时：ψᵢ - cψ₀ᵢ = ψᵢ + |cψ₀ᵢ|，由于ψᵢ>0、c>0，这个值肯定是正的，不需要额外限制；
• 当ψ₀ᵢ = 0时：ψᵢ - cψ₀ᵢ = ψᵢ > 0，天然满足非负；
• 当ψ₀ᵢ > 0时：不等式变形为c ≤ ψᵢ / ψ₀ᵢ，这是我们需要重点考虑的约束。

c的具体选取方式 #

取c为所有ψ₀ᵢ > 0的下标i对应的ψᵢ / ψ₀ᵢ的最小值，也就是：

c = min{ ψᵢ / ψ₀ᵢ | i ∈ {1,2,...,n}, ψ₀ᵢ > 0 }

验证这个c的合理性 #

1. 非负性：
   • 对于ψ₀ᵢ>0的i：因为c是这类比值的最小值，所以c ≤ ψᵢ/ψ₀ᵢ，即ψᵢ - cψ₀ᵢ ≥ 0；
   • 对于ψ₀ᵢ≤0的i：前面已经分析过，这部分分量必然为正，满足非负。
2. 存在零分量：
   至少存在一个下标i₀，使得ψ₀ᵢ₀>0且c = ψᵢ₀/ψ₀ᵢ₀，此时ψᵢ₀ - cψ₀ᵢ₀ = 0，满足“至少一个分量为0”的要求。
3. c>0：
   所有参与取最小值的ψᵢ/ψ₀ᵢ都是正的（ψᵢ>0，ψ₀ᵢ>0），所以它们的最小值也必然是正的。

如果选c比这个最小值大，那对应的那个i₀分量会变成负数，不满足非负；如果选c比最小值小，那所有分量都会是正的，没有零分量，不符合我们的需求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者User8976