关于求解同余方程$x^3+3x^2-6x-88\equiv0\bmod{402}$的咨询

阿华AIGC实验室

2026-5-19

解同余方程 $x^3+3x2-6x-88\equiv0\pmod{402}$

首先，我们按照你说的思路，先搞定模67的求解，再用中国剩余定理把各个模的解合并起来。

一、求解模67的同余方程

原方程模67时，先简化常数项：$88 \equiv 88-67=21 \pmod{67}$，所以方程转化为：
$$x^3+3x2-6x-21\equiv0\pmod{67}$$

步骤1：寻找一次根

对于质数模的多项式方程，我们可以先试小整数代入验证：

当$x=4$时：$4^3+3\times42-6\times4-21=64+48-24-21=67\equiv0\pmod{67}$，所以$x\equiv4\pmod{67}$是一个根。

步骤2：因式分解多项式

因为$x=4$是根，我们可以把多项式分解为$(x-4)$和二次多项式的乘积：
$$x^3+3x2-6x-21=(x-4)(x^2+7x+22)\pmod{67}$$
（展开右边验证：$(x-4)(x^2+7x+22)=x3+7x^2+22x-4x2-28x-88=x^3+3x2-6x-88$，而$88\equiv21\pmod{67}$，完全匹配原方程）

步骤3：判断二次方程是否有解

接下来解二次方程$x^2+7x+22\equiv0\pmod{67}$，先计算判别式：
$$\Delta=7^2-4\times1\times22=49-88=-39\equiv28\pmod{67}$$

用二次互反律判断28是否为模67的二次剩余：

$(28/67)=(4\times7/67)=(4/67)\times(7/67)=1\times(7/67)$（因为4是平方数，二次剩余符号为1）
根据二次互反律：$(7/67)=(67/7)\times(-1)^{\frac{(7-1)(67-1)}{4}}$
- $67\equiv4\pmod{7}$，所以$(67/7)=(4/7)=1$
- 指数部分$\frac{6\times66}{4}=99$，是奇数，所以$(-1)^{99}=-1$
- 因此$(7/67)=1\times(-1)=-1$，即28是模67的二次非剩余，二次方程无解。

综上，模67的方程只有唯一解：$x\equiv4\pmod{67}$

二、用中国剩余定理合并各模的解

假设你已经得到：

模2的解：$x\equiv0\pmod{2}$ 或 $x\equiv1\pmod{2}$（验证：原方程模2简化为$x^3+x2\equiv0\pmod{2}$，即$x^2(x+1)\equiv0$，确实有两个解）
模3的解：$x\equiv1\pmod{3}$（验证：原方程模3简化为$x^3-1\equiv0\pmod{3}$，只有$x\equiv1$满足）
模67的解：$x\equiv4\pmod{67}$（刚才求出）

因为$402=2\times3\times67$，三个模数两两互质，我们分两种情况合并：

情况1：$x\equiv0\pmod{2}$，$x\equiv1\pmod{3}$，$x\equiv4\pmod{67}$

先合并前两个同余式：设$x=2k$，代入$x\equiv1\pmod{3}$得$2k\equiv1\pmod{3}$，解得$k\equiv2\pmod{3}$，即$k=3m+2$，所以$x=2(3m+2)=6m+4$，也就是$x\equiv4\pmod{6}$。
再合并$x\equiv4\pmod{6}$与$x\equiv4\pmod{67}$：因为6和67互质，所以$x-4$是6和67的公倍数，即$x-4\equiv0\pmod{402}$，最终得$x\equiv4\pmod{402}$。

情况2：$x\equiv1\pmod{2}$，$x\equiv1\pmod{3}$，$x\equiv4\pmod{67}$

先合并前两个同余式：$x\equiv1\pmod{6}$（同时满足模2和模3余1，最小公倍数是6）。
再合并$x\equiv1\pmod{6}$与$x\equiv4\pmod{67}$：设$x=6m+1$，代入得$6m+1\equiv4\pmod{67}$，即$6m\equiv3\pmod{67}$，两边除以3得$2m\equiv1\pmod{67}$，解得$m\equiv34\pmod{67}$（因为$2\times34=68\equiv1\pmod{67}$）。
代入得$x=6(67n+34)+1=402n+205$，也就是$x\equiv205\pmod{402}$。