咱们从基础定义开始，一步步把这个看起来复杂的拓扑符号弄明白：

先回顾弱拓扑的通用定义 #

对于一对对偶向量空间$Y$和$Z$，$\sigma(Y,Z)$表示**$Y$上由$Z$诱导的弱拓扑**（如果$Z$是$Y$的预对偶，也常叫弱*拓扑）。它是$Y$上能让所有$Z$中的线性泛函都连续的最弱拓扑。

它的邻域基由这类集合构成：
$${y\in Y: |z_1(y)-z_1(y_0)|<\epsilon,\ |z_2(y)-z_2(y_0)|<\epsilon,\ ...,\ |z_n(y)-z_n(y_0)|<\epsilon}$$
其中$z_1,z_2,...,z_n\in Z$，$\epsilon>0$，$y_0$是$Y$中任意一点。

逐个拆解目标符号的组成部分 #

1. $(X^*,wk*)$是什么？
   这里的$wk^{*$就是你熟悉的$X}$上的弱拓扑$\sigma(X^{*,X)$，所以$(X},wk^{*)$指的是**给对偶空间$X}$装上弱*拓扑后得到的拓扑向量空间（TVS）**。

2. $(X^*,wk)^$又是什么？
   这是上面那个TVS的拓扑对偶空间——说白了，就是所有能在$(X^*,wk)$上连续的线性泛函的集合。你提到的$\hat{x}\in(X^*,wk)^$，其中$\hat{x}$是$X$到第二对偶的典型嵌入（也就是$\hat{x}(f)=f(x)$，对所有$f\in X^{*$都成立），这说明$X$的嵌入像$\hat{X}$是$(X},wk^*)*$的一个子集。

3. $\sigma(X^*,(X,wk^*))$的最终含义
   结合前面的定义，这个符号就是对偶空间$X^{*$上，由它自己在弱*拓扑下的拓扑对偶空间$(X},wk^*)$所诱导的弱拓扑。换个直白点的说法：它是$X^{*$上能让所有$(X},wk^*)$里的线性泛函都连续的最弱拓扑。

结合你给出的包含关系加深理解 #

• 因为$\hat{X}\subseteq(X^*,wk)^{*$，所以$\sigma(X},X)$（$X^{*$上的弱*拓扑）是$\sigma(X},(X^*,wk)^{*)$的子拓扑（也就是$\sigma(X},X)\subseteq\sigma(X^*,(X,wk^*))$）——这里的逻辑是：诱导拓扑的泛函集合越大，需要满足的连续条件就越多，拓扑也就越强。$\hat{X}$是$(X^*,wk)^$的子集，所以后者诱导的拓扑比弱拓扑更强。
• 当$X$是赋范空间时，$(X^*,wk)^\subseteq X^{**}$（$X{}$是$X$的第二Banach对偶，也就是$X^{*$在范数拓扑下的对偶空间），所以对应的诱导拓扑更弱，也就有了你给出的$\sigma(X},(X^*,wk)^{*)\subseteq\sigma(X}*,X^{})$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Answer Lee