先明确已知条件：

• 设 ( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} ) 是连续函数
• 存在 ( a < b )，满足 ( f(a) < f(b) )（函数在 ([a,b]) 上有一段严格递增）
• 存在 ( c < d )，满足 ( f(c) > f(d) )（函数在 ([c,d]) 上有一段严格递减）

我们要证明的是：存在 ( x < y )，使得 ( f(x) = f(y) )。

步骤1：构造辅助连续函数 ( H(t) ) #

按照提示，我们先构造两个线性连续的参数函数，用来连接已知的两个区间端点：

• ( x(t) = a(1-t) + c t )（从 ( a ) 线性过渡到 ( c )）
• ( y(t) = b(1-t) + d t )（从 ( b ) 线性过渡到 ( d )）

这两个函数都是连续的（线性函数天然连续），接下来定义核心辅助函数：

H(t) = f(y(t)) - f(x(t))

因为 ( f ) 是连续函数，( y(t) ) 和 ( x(t) ) 连续，所以复合后的 ( f(y(t)) )、( f(x(t)) ) 也连续，它们的差 ( H(t) ) 自然是 闭区间 ([0,1]) 上的连续函数。

步骤2：计算 ( H(t) ) 在区间端点的值 #

• 当 ( t=0 ) 时：( x(0)=a )，( y(0)=b )，代入得 ( H(0) = f(b) - f(a) )。根据已知条件 ( f(a) < f(b) )，所以 ( H(0) > 0 )。
• 当 ( t=1 ) 时：( x(1)=c )，( y(1)=d )，代入得 ( H(1) = f(d) - f(c) )。根据已知条件 ( f(c) > f(d) )，所以 ( H(1) < 0 )。

步骤3：应用介值定理 #

介值定理的核心结论是：如果一个函数在闭区间上连续，且端点处的函数值异号，那么区间内至少存在一个点使得函数值为0。

对于 ( H(t) ) 来说，它在 ([0,1]) 上连续，且 ( H(0) > 0 )、( H(1) < 0 )，因此必然存在某个 ( t_0 \in (0,1) )，使得 ( H(t_0) = 0 )。

代入 ( H(t) ) 的定义可得：

f(y(t_0)) - f(x(t_0)) = 0 ⇒ f(y(t_0)) = f(x(t_0))

步骤4：验证 ( x(t_0) < y(t_0) ) #

我们需要确认这两个点的大小关系：
计算 ( y(t) - x(t) = [b(1-t)+dt] - [a(1-t)+ct] = (b-a)(1-t) + (d-c)t )。
因为 ( b-a > 0 )、( d-c > 0 )，且 ( t_0 \in (0,1) ) 时，( (1-t_0) ) 和 ( t_0 ) 都大于0，所以 ( y(t_0) - x(t_0) = (b-a)(1-t_0) + (d-c)t_0 > 0 )，即 ( x(t_0) < y(t_0) )。

令 ( x = x(t_0) )，( y = y(t_0) )，就得到了满足 ( x < y ) 且 ( f(x)=f(y) ) 的两个实数，证明完成。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Connor Murphy