Hey there, let's tackle your two geometry learning questions one by one—based on years of helping undergrads and self-learners navigate this field, here's some practical, actionable advice:

• 先抓直观+基础，双轨并行：别一上来就啃抽象公理，先从平面、立体几何的直观案例入手——比如折纸理解对称，画图感受曲面的弯曲程度。同时把线性代数（向量空间、内积、线性变换）和多元微积分（偏导、线面积分）的基础打牢，这俩是现代几何的“基本功”，没学好后面会举步维艰。
• 选一本友好的入门教材：推荐《几何与拓扑导论》（侧重直观和例子）或者本科版《微分几何初步》，先吃透曲线、曲面的局部性质：比如切平面、高斯曲率、第一/第二基本形式，搞懂“用微积分描述几何形状”的核心逻辑。
• 动手算，别光看：教材里的习题一定要做——比如计算球面的曲率、参数化圆柱面，亲手推导曲面的基本形式，这些计算能把抽象概念彻底落地，不然永远是“纸上谈兵”。
• 结合应用场景找动力：看看几何在计算机图形学（曲面建模）、物理（行星轨道）甚至艺术（分形几何）里的应用，知道学这些能解决啥实际问题，学习动力会强很多。
• 找同伴一起学：拉上同学组队，或者加入线上几何学习社群，遇到卡壳的地方互相讨论，有时候别人的一个小例子就能让你突然开窍。

既然你已经有实分析、抽象代数的基础，起步会顺畅很多，给你分阶段的学习路径：

• 第一阶段：黎曼几何入门
  • 选经典教材：Do Carmo的《Riemannian Geometry》前半部分绝对是首选，逻辑清晰、例子充足。从流形的定义开始，逐步吃透黎曼度量、联络、曲率张量这些核心概念，重点理解“流形上的微积分”和“曲率的几何意义”——比如球面和双曲平面的曲率差异如何影响几何性质。
  • 补点拓扑基础：快速过一遍点集拓扑的核心（拓扑空间、紧致性、连通性）和代数拓扑的入门概念（基本群、同调群的直观），这能帮你理解流形的整体性质，不然学黎曼几何只会停留在局部。
• 第二阶段：拓展到共形几何
  • 从二维入手：二维共形几何更直观，和复分析联系紧密。先搞懂“共形变换”的核心——保持角度不变的映射（比如复平面上的莫比乌斯变换），再过渡到高维共形几何的基本概念。如果学过复分析，结合黎曼曲面一起学，事半功倍。
  • 找专题讲义：可以找一些大学的共形几何入门讲义，里面会有很多具体例子，比纯教材更接地气。
• 第三阶段：衔接广义相对论
  • 先啃伪黎曼几何：广义相对论用的是伪黎曼几何（洛伦兹流形），先搞懂伪黎曼度量、测地线这些概念，再看专门的相对论几何教材，比如《微分几何与广义相对论》入门版，或者《引力论与宇宙论》的前几章。
  • 从具体例子突破：先计算史瓦西时空的曲率，理解黑洞的几何描述，把抽象的几何概念和物理现象结合起来，就不会觉得相对论遥不可及了。
• 通用技巧
  • 亲手推导核心公式：比如黎曼曲率张量、爱因斯坦场方程的推导，一遍推导下来，对概念的理解会深刻十倍。
  • 看综述拓展视野：当你有了基础后，找一些科普性的综述文章，了解共形几何在机器学习、相对论里的引力波这些前沿应用，能让你知道学这些东西的价值。
  • 泡专业社区：遇到难题时，搜搜相关专业社区的问题，看看大佬们的解答，也可以自己提问，能收获很多实用思路。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ma Joad