嘿，这个奥赛代数题其实可以通过代数变形和消元来解决，咱们一步步拆解：

首先明确已知条件：
已知正实数 (x,y,z) 满足：
$$
\begin{cases}
x^2 + xy + y^2 = 3 \quad (1) \
y^2 + yz + z^2 = 1 \quad (2) \
x^2 + xz + z^2 = 4 \quad (3)
\end{cases}
$$

步骤1：方程相减找变量关系 #

先把方程(3)减去方程(2)，左边展开化简：
$$
(x^2 + xz + z^2) - (y^2 + yz + z^2) = 4 - 1
$$
整理得：
$$
x^2 - y^2 + z(x - y) = 3
$$
利用平方差公式 (x^2 - y^2 = (x-y)(x+y))，提取公因式 ((x-y))：
$$
(x - y)(x + y + z) = 3 \quad (4)
$$

再把方程(1)减去方程(2)：
$$
(x^2 + xy + y^2) - (y^2 + yz + z^2) = 3 - 1
$$
同理化简：
$$
x^2 - z^2 + y(x - z) = 2 \
(x - z)(x + z + y) = 2 \quad (5)
$$

因为 (x,y,z) 都是正实数，所以 (x+y+z \neq 0)，用方程(4)除以方程(5)：
$$
\frac{x - y}{x - z} = \frac{3}{2}
$$
交叉相乘整理得：
$$
2(x - y) = 3(x - z) \
x = 3z - 2y \quad (6)
$$

步骤2：代入消元求解变量关系 #

把方程(6)的 (x = 3z - 2y) 代入方程(1)：
$$
(3z - 2y)^2 + (3z - 2y)y + y^2 = 3
$$
展开并合并同类项：
$$
9z^2 - 12yz + 4y^2 + 3yz - 2y^2 + y^2 = 3 \
9z^2 - 9yz + 3y^2 = 3
$$
两边除以3简化：
$$
3z^2 - 3yz + y^2 = 1 \quad (7)
$$

注意到方程(2)是 (y^2 + yz + z^2 = 1)，所以方程(7)和方程(2)相等：
$$
3z^2 - 3yz + y^2 = y^2 + yz + z^2
$$
消去 (y^2) 并整理：
$$
2z^2 - 4yz = 0 \
2z(z - 2y) = 0
$$
因为 (z > 0)，所以 (z = 2y \quad (8))

步骤3：求出所有变量的关系并计算目标值 #

把方程(8)代入方程(6)，得：
$$
x = 3 \times 2y - 2y = 4y
$$

现在我们得到了 (x=4y)，(z=2y)，把它们代入方程(2)求 (y^2)：
$$
y^2 + y \times 2y + (2y)^2 = 1 \
y^2 + 2y^2 + 4y^2 = 1 \
7y^2 = 1 \
y^2 = \frac{1}{7}
$$

最后计算 (xy + yz + zx)：
$$
xy + yz + zx = 4y \times y + y \times 2y + 2y \times 4y \
= 4y^2 + 2y^2 + 8y^2 \
= 14y^2
$$
代入 (y^2 = \frac{1}{7})：
$$
14 \times \frac{1}{7} = 2
$$

所以最终答案是 (\boldsymbol{2})。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者MIT998