嘿，这个问题问得特别实在！咱们来好好捋一捋：

首先得明确你提到的那个分离变量的分式 $\frac{d \begin{pmatrix}y_1 \ y_2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y_1 \ y_2\end{pmatrix}}$ 确实没有严格的数学意义——向量之间的除法本身就没有定义，所以分离变量法对这种变系数的方程组基本走不通，别在这上面纠结啦。

下面针对你说的 $\frac{ d}{dx}\begin{pmatrix} y_1 \ y_2\end{pmatrix} = A(x) \begin{pmatrix} y_1 \ y_2\end{pmatrix}$（$A(x)$ 为2×2非对角变系数矩阵）这类一阶线性齐次常微分方程组，给你梳理几种可行的解法：

1. 相似变换简化矩阵 #

如果能找到一个可逆的2×2矩阵 $P(x)$，让 $P^{-1}(x)A(x)P(x) - P^{-1}(x)P'(x)$ 变成对角矩阵或者Jordan标准型（更简单的形式），就能把原方程组转化为容易求解的形式：

• 若 $A(x)$ 的两个特征值 $\lambda_1(x)$、$\lambda_2(x)$ 互不相同，且对应的特征向量 $\mathbf{v}_1(x)$、$\mathbf{v}_2(x)$ 线性无关，那 $P(x)$ 就是这两个特征向量组成的矩阵。变换后方程组会拆成两个独立的一阶ODE，分别求解后再通过 $P(x)$ 变换回原变量即可。
• 要是特征值是重根，就得用Jordan标准型做变换，这时候解会包含指数函数乘以多项式的形式。

2. 降阶法（转化为二阶ODE） #

因为是2维方程组，我们可以把它降阶成单个二阶线性ODE：
假设 $A(x) = \begin{pmatrix}a_{11}(x) & a_{12}(x)\a_{21}(x) & a_{22}(x)\end{pmatrix}$，从第一个方程 $y_1' = a_{11}y_1 + a_{12}y_2$ 出发，如果 $a_{12}(x) \neq 0$，可以解出 $y_2 = \frac{y_1' - a_{11}y_1}{a_{12}}$，再把这个表达式代入第二个方程，就能得到只关于 $y_1$ 的二阶线性齐次ODE。之后就可以用二阶ODE的解法，比如幂级数法、Frobenius法，或者已知一个特解后用刘维尔公式求另一个线性无关解。

3. 幂级数解法（当A(x)解析时） #

如果 $A(x)$ 在某个区间内是解析函数（比如是多项式，或者能展开成收敛的幂级数），可以假设解 $\mathbf{y}(x)$ 是幂级数形式：$\mathbf{y}(x) = \sum_{n=0}^\infty \mathbf{c}_n (x - x_0)^n$，把它代入原方程组后对比系数，逐个求出 $\mathbf{c}_n$，就能得到幂级数形式的解。

4. 数值解法（无解析解时） #

很多变系数的情况其实找不到闭式解析解，这时候就可以用数值方法近似求解，比如欧拉法、四阶龙格-库塔法（RK4），这类方法在工程和实际计算里用得非常多。

你提到想得到类似单变量ODE那样的简洁通解，这得看 $A(x)$ 的具体形式：

• 如果 $A(x)$ 是常数矩阵（哪怕非对角），通解可以写成 $\mathbf{y}(x) = e^{A(x - x_0)}\mathbf{y}(x_0)$，这里的矩阵指数是有严格定义的；
• 但如果是变系数矩阵，只有当 $A(x)$ 和它的积分 $\int_{x_0}^x A(t)dt$ 可交换（也就是 $A(x)\int_{x_0}^x A(t)dt = \int_{x_0}^x A(t)dt A(x)$）时，通解才能写成 $\mathbf{y}(x) = e^{\int_{x_0}x A(t)dt}\mathbf{y}(x_0)$——这种情况非常少见，大部分变系数场景都没有这么简洁的闭式解，只能用上面说的方法得到级数解或者降阶后的解。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ralph